1. **Planteamiento del problema:** Determinar las propiedades de la función $$f(x) = \frac{2x^4 - x^2 + 1}{x^2 - 4}$$ donde $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$. 2. **Dominio de la función:** El dominio $$\text{Dom}(f)$$ son todos los valores reales $$x$$ para los cuales el denominador no es cero. 3. **Cálculo del dominio:** El denominador es $$x^2 - 4$$. Igualamos a cero para encontrar valores prohibidos: $$x^2 - 4 = 0$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$ Por lo tanto, $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ -2, 2 \}$$. 4. **Imagen o rango de la función:** Para encontrar el rango, analizamos la función y buscamos valores $$y$$ tales que exista $$x$$ con $$f(x) = y$$. Sea $$y = \frac{2x^4 - x^2 + 1}{x^2 - 4}$$. Multiplicamos ambos lados por $$x^2 - 4$$: $$y(x^2 - 4) = 2x^4 - x^2 + 1$$ Reordenamos: $$2x^4 - x^2 + 1 - yx^2 + 4y = 0$$ Agrupamos términos: $$2x^4 - (y + 1)x^2 + (1 + 4y) = 0$$ Sea $$z = x^2 \geq 0$$, entonces: $$2z^2 - (y + 1)z + (1 + 4y) = 0$$ Para que exista $$x$$ real, $$z$$ debe ser real y $$\geq 0$$. 5. **Condición para $$z$$ real:** El discriminante de la cuadrática en $$z$$ debe ser $$\geq 0$$: $$\Delta = (y + 1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 + 4y) \geq 0$$ Calculamos: $$\Delta = (y + 1)^2 - 8(1 + 4y) = y^2 + 2y + 1 - 8 - 32y = y^2 - 30y - 7 \geq 0$$ 6. **Resolvemos la desigualdad:** $$y^2 - 30y - 7 \geq 0$$ Calculamos raíces: $$y = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 28}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{928}}{2}$$ Aproximando $$\sqrt{928} \approx 30.46$$: $$y_1 = \frac{30 - 30.46}{2} \approx -0.23$$ $$y_2 = \frac{30 + 30.46}{2} \approx 30.23$$ La parábola abre hacia arriba, por lo que: $$y \leq -0.23 \quad \text{o} \quad y \geq 30.23$$ 7. **Condición para $$z \geq 0$$:** Las soluciones para $$z$$ son: $$z = \frac{(y + 1) \pm \sqrt{\Delta}}{4}$$ Para que $$z \geq 0$$, al menos una solución debe ser $$\geq 0$$. Probamos para $$y \leq -0.23$$ y $$y \geq 30.23$$, se cumple que existe $$z \geq 0$$. Por lo tanto, el rango es: $$\text{Img}(f) = (-\infty, -0.23] \cup [30.23, \infty)$$ (aproximado). 8. **Conjunto de ceros $$Z(f)$$:** Los ceros son valores de $$x$$ tales que $$f(x) = 0$$. Igualamos numerador a cero: $$2x^4 - x^2 + 1 = 0$$ Sea $$w = x^2$$: $$2w^2 - w + 1 = 0$$ Discriminante: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7 < 0$$ No hay soluciones reales para $$w$$, por lo tanto no hay ceros reales. 9. **Gráfica de la función para $$x \in [-10, 10]$$:** La función tiene asíntotas verticales en $$x = -2$$ y $$x = 2$$. El gráfico muestra comportamiento polinómico en los extremos y discontinuidades en $$x = \pm 2$$. --- **Respuesta final:** - $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ -2, 2 \}$$ - $$\text{Img}(f) \approx (-\infty, -0.23] \cup [30.23, \infty)$$ - $$Z(f) = \emptyset$$ (no hay ceros reales) - Gráfica con asíntotas verticales en $$x = \pm 2$$ y dominio $$[-10,10]$$.