1. Planteamos el problema: Calcular las primeras 10 sumas parciales de la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(n^2 + 1)}{2n^2 + 1}$$. 2. La fórmula para la suma parcial $S_k$ es: $$S_k = \sum_{n=1}^k \frac{\ln(n^2 + 1)}{2n^2 + 1}$$ 3. Calculamos cada término individualmente para $n=1$ a $10$: - $a_n = \frac{\ln(n^2 + 1)}{2n^2 + 1}$ 4. Evaluamos cada término: - $a_1 = \frac{\ln(1^2 + 1)}{2(1)^2 + 1} = \frac{\ln(2)}{3} \approx 0.2310$ - $a_2 = \frac{\ln(4 + 1)}{2(4) + 1} = \frac{\ln(5)}{9} \approx 0.1788$ - $a_3 = \frac{\ln(9 + 1)}{2(9) + 1} = \frac{\ln(10)}{19} \approx 0.1211$ - $a_4 = \frac{\ln(16 + 1)}{2(16) + 1} = \frac{\ln(17)}{33} \approx 0.0993$ - $a_5 = \frac{\ln(25 + 1)}{2(25) + 1} = \frac{\ln(26)}{51} \approx 0.0783$ - $a_6 = \frac{\ln(36 + 1)}{2(36) + 1} = \frac{\ln(37)}{73} \approx 0.0643$ - $a_7 = \frac{\ln(49 + 1)}{2(49) + 1} = \frac{\ln(50)}{99} \approx 0.0537$ - $a_8 = \frac{\ln(64 + 1)}{2(64) + 1} = \frac{\ln(65)}{129} \approx 0.0453$ - $a_9 = \frac{\ln(81 + 1)}{2(81) + 1} = \frac{\ln(82)}{163} \approx 0.0386$ - $a_{10} = \frac{\ln(100 + 1)}{2(100) + 1} = \frac{\ln(101)}{201} \approx 0.0333$ 5. Sumamos los primeros 10 términos para obtener las sumas parciales: $$S_1 = 0.2310$$ $$S_2 = 0.2310 + 0.1788 = 0.4098$$ $$S_3 = 0.4098 + 0.1211 = 0.5309$$ $$S_4 = 0.5309 + 0.0993 = 0.6302$$ $$S_5 = 0.6302 + 0.0783 = 0.7085$$ $$S_6 = 0.7085 + 0.0643 = 0.7728$$ $$S_7 = 0.7728 + 0.0537 = 0.8265$$ $$S_8 = 0.8265 + 0.0453 = 0.8718$$ $$S_9 = 0.8718 + 0.0386 = 0.9104$$ $$S_{10} = 0.9104 + 0.0333 = 0.9437$$ 6. Sobre la convergencia: Los términos $a_n$ tienden a cero porque el denominador crece más rápido que el numerador, pero esto no garantiza convergencia. 7. Prueba de la divergencia: Si $$\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$$, la serie diverge. Calculamos: $$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n^2 + 1)}{2n^2 + 1} = 0$$ 8. Como el límite es cero, la prueba de la divergencia no concluye que diverge, pero no garantiza convergencia. 9. Observando las sumas parciales que aumentan lentamente y el término general que tiende a cero, la serie podría converger, pero se requiere una prueba más fuerte para confirmarlo. Respuesta final: - Las primeras 10 sumas parciales son aproximadamente: $0.2310, 0.4098, 0.5309, 0.6302, 0.7085, 0.7728, 0.8265, 0.8718, 0.9104, 0.9437$. - La serie no diverge por la prueba de la divergencia. - La convergencia no se puede asegurar solo con esta prueba.