1. **Planteamiento del problema:** Queremos aproximar $\sqrt{4.2}$ usando un polinomio de Taylor de orden 4. 2. **Paso A: Función objetivo y centro de expansión:** La función objetivo es $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$. Elegimos el centro $a = 4$ porque $\sqrt{4} = 2$ es fácil de calcular y cercano a 4.2. 3. **Paso B: Construcción del polinomio de Taylor de orden 4 en $a=4$:** La fórmula del polinomio de Taylor de orden 4 es: $$ P_4(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 $$ Calculamos las derivadas: $$ f(x) = x^{1/2},\quad f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2},\quad f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2},\quad f^{(3)}(x) = \frac{3}{8}x^{-5/2},\quad f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}x^{-7/2} $$ Evaluamos en $x=4$: $$ f(4) = 2 $$ $$ f'(4) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25 $$ $$ f''(4) = -\frac{1}{4} \times \frac{1}{8} = -\frac{1}{32} = -0.03125 $$ $$ f^{(3)}(4) = \frac{3}{8} \times \frac{1}{32} = \frac{3}{256} = 0.01171875 $$ $$ f^{(4)}(4) = -\frac{15}{16} \times \frac{1}{128} = -\frac{15}{2048} = -0.007324219 $$ Ahora, con $x=4.2$, calculamos $h = x - a = 0.2$. Construimos $P_4(4.2)$: $$ P_4(4.2) = 2 + 0.25 \times 0.2 + \frac{-0.03125}{2} \times 0.2^2 + \frac{0.01171875}{6} \times 0.2^3 + \frac{-0.007324219}{24} \times 0.2^4 $$ Calculamos cada término: $$ 0.25 \times 0.2 = 0.05 $$ $$ \frac{-0.03125}{2} = -0.015625, \quad -0.015625 \times 0.04 = -0.000625 $$ $$ \frac{0.01171875}{6} = 0.001953125, \quad 0.001953125 \times 0.008 = 0.000015625 $$ $$ \frac{-0.007324219}{24} = -0.000305176, \quad -0.000305176 \times 0.0016 = -0.000000488 $$ Sumamos todos: $$ P_4(4.2) = 2 + 0.05 - 0.000625 + 0.000015625 - 0.000000488 = 2.049390 $$ 4. **Paso C: Estimación del error absoluto:** Valor exacto con calculadora: $\sqrt{4.2} \approx 2.049390$ (usando 6 cifras decimales: 2.049390) Error absoluto: $$ |\sqrt{4.2} - P_4(4.2)| \approx |2.049390 - 2.049390| = 0.000000 $$ 5. **Paso D: Resto de Lagrange y análisis:** El resto de Lagrange para orden 4 es: $$ R_4(x) = \frac{f^{(5)}(\xi)}{5!} (x - a)^5 $$ con $\xi$ entre 4 y 4.2. Calculamos $f^{(5)}(x)$: $$ f^{(5)}(x) = \frac{105}{32} x^{-9/2} $$ Evaluamos el máximo valor absoluto en $[4,4.2]$ en $x=4$ (porque $x^{-9/2}$ decrece): $$ f^{(5)}(4) = \frac{105}{32} \times 4^{-9/2} = \frac{105}{32} \times \frac{1}{4^{4.5}} = \frac{105}{32} \times \frac{1}{512} = \frac{105}{16384} \approx 0.006409 $$ Entonces: $$ |R_4(4.2)| \leq \frac{0.006409}{120} \times 0.2^5 = \frac{0.006409}{120} \times 0.00032 = 1.71 \times 10^{-8} $$ Este valor es mucho menor que el error absoluto estimado, confirmando que la aproximación es muy precisa. **Respuesta final:** $$ \sqrt{4.2} \approx 2.049390 $$