1. **Problema:** Analizziamo la funzione $$y = (x - 1) e^{-(x-1)^2}$$ per determinarne dominio, intersezioni con gli assi, segno, limiti, asintoti, derivata prima e segno della derivata prima. 2. **Dominio:** La funzione è composta da un polinomio $(x-1)$ e un'esponenziale $e^{-(x-1)^2}$. Poiché l'esponenziale è definito per ogni $x$ reale, il dominio è $$\text{Dominio} = \mathbb{R}$$. 3. **Intersezioni con gli assi:** - Intersezione con l'asse $y$: si calcola $y$ per $x=0$: $$y(0) = (0-1) e^{-(0-1)^2} = -1 \cdot e^{-1} = -e^{-1}$$ - Intersezione con l'asse $x$: si risolve $y=0$: $$ (x-1) e^{-(x-1)^2} = 0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$$ 4. **Segno della funzione:** - L'esponenziale è sempre positivo. - Quindi il segno di $y$ dipende da $x-1$: - Se $x<1$, $y<0$. - Se $x>1$, $y>0$. 5. **Limiti:** - Per $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (x-1) e^{-(x-1)^2} = +\infty \cdot 0 = 0$$ (l'esponenziale tende a zero più velocemente del polinomio che cresce) - Per $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} (x-1) e^{-(x-1)^2} = -\infty \cdot 0 = 0$$ 6. **Asintoti:** Non ci sono asintoti verticali (funzione definita ovunque) né orizzontali diversi da $y=0$ che è un asintoto orizzontale orizzontale per $x \to \pm \infty$. 7. **Derivata prima:** Usiamo la regola del prodotto: $$y = u \cdot v$$ con $$u = x-1$$ e $$v = e^{-(x-1)^2}$$ $$u' = 1$$ $$v' = e^{-(x-1)^2} \cdot (-2(x-1)) = -2(x-1) e^{-(x-1)^2}$$ Quindi: $$y' = u'v + uv' = 1 \cdot e^{-(x-1)^2} + (x-1)(-2(x-1) e^{-(x-1)^2}) = e^{-(x-1)^2} - 2(x-1)^2 e^{-(x-1)^2}$$ Fattorizzando: $$y' = e^{-(x-1)^2} (1 - 2(x-1)^2)$$ 8. **Segno della derivata prima:** - L'esponenziale è sempre positivo. - Quindi il segno di $y'$ dipende da: $$1 - 2(x-1)^2$$ - Risolviamo l'equazione: $$1 - 2(x-1)^2 = 0 \Rightarrow 2(x-1)^2 = 1 \Rightarrow (x-1)^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x-1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$ - Quindi i punti critici sono: $$x = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$ - Segno di $y'$: - Per $$|x-1| < \frac{1}{\sqrt{2}}$$, $y' > 0$ (funzione crescente) - Per $$|x-1| > \frac{1}{\sqrt{2}}$$, $y' < 0$ (funzione decrescente) 9. **Riassunto:** - Dominio: $$\mathbb{R}$$ - Intersezioni: con $x$ in $x=1$, con $y$ in $y=-e^{-1}$ - Segno: negativo per $x<1$, positivo per $x>1$ - Limiti: $$\lim_{x \to \pm \infty} y = 0$$ - Asintoto orizzontale: $y=0$ - Derivata prima: $$y' = e^{-(x-1)^2} (1 - 2(x-1)^2)$$ - Punti critici: $$x = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$ - Segno derivata prima: crescente tra i punti critici, decrescente fuori **Risposta finale:** La funzione ha dominio tutto $ \mathbb{R}$, intersezione con l'asse $x$ in $x=1$, con l'asse $y$ in $y=-e^{-1}$, asintoto orizzontale $y=0$, e la derivata prima è $$y' = e^{-(x-1)^2} (1 - 2(x-1)^2)$$ con punti critici in $$x=1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$ che determinano gli intervalli di crescita e decrescita.