1. **Problema:** Determinare il valore di $a$ per cui la funzione $$ f(x) = \begin{cases} \frac{a}{x-1} & x \leq 0 \\ 4 - x^{2} & x > 0 \end{cases} $$ è continua in tutto $\mathbb{R}$. 2. **Condizione di continuità:** La funzione è continua in ogni punto tranne forse in $x=0$, dove cambia definizione. 3. Per continuità in $x=0$ deve valere: $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) $$ 4. Calcoliamo: - $$ f(0) = \frac{a}{0-1} = \frac{a}{-1} = -a $$ - $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (4 - x^2) = 4 - 0 = 4 $$ 5. Impostiamo l'uguaglianza per la continuità: $$ -a = 4 \implies a = -4 $$ 6. **Valore di $a$ trovato:** $a = -4$. --- 7. **Per $a = -4$, la funzione diventa:** $$ f(x) = \begin{cases} \frac{-4}{x-1} & x \leq 0 \\ 4 - x^{2} & x > 0 \end{cases} $$ 8. **Determinare l'immagine $f(S)$ per $S = [-1, 2]$:** - Per $x \in [-1,0]$, $f(x) = \frac{-4}{x-1}$. - Calcoliamo $f(-1) = \frac{-4}{-1-1} = \frac{-4}{-2} = 2$. - Calcoliamo $f(0) = \frac{-4}{0-1} = 4$. - La funzione è continua e monotona decrescente in $[-1,0]$ (poiché il denominatore $x-1$ cresce da $-2$ a $-1$ e il segno è negativo), quindi l'immagine su $[-1,0]$ è l'intervallo $[2,4]$. - Per $x \in (0,2]$, $f(x) = 4 - x^2$. - Calcoliamo $f(0^+) = 4$. - Calcoliamo $f(2) = 4 - 4 = 0$. - La funzione è decrescente in $(0,2]$, quindi l'immagine è $(0,4)$. - Unendo i due intervalli, l'immagine su $[-1,2]$ è: $$ f(S) = [2,4] \cup (0,4) = (0,4] $$ --- 9. **Determinare la controimmagine $f^{-1}(T)$ per $T = [0,2]$:** - Cerchiamo $x$ tali che $f(x) \in [0,2]$. - Per $x \leq 0$, $f(x) = \frac{-4}{x-1}$: $$ 0 \leq \frac{-4}{x-1} \leq 2 $$ - Poiché $x-1 < 0$ per $x \leq 0$, il segno di $\frac{-4}{x-1}$ è positivo. - Risolviamo: - $$ \frac{-4}{x-1} \leq 2 \implies -4 \leq 2(x-1) \implies -4 \leq 2x - 2 \implies -2 \leq 2x \implies -1 \leq x $$ - $$ \frac{-4}{x-1} \geq 0 $$ è sempre vero per $x \leq 0$. - Quindi per $x \leq 0$, $x \in [-1,0]$. - Per $x > 0$, $f(x) = 4 - x^2$: $$ 0 \leq 4 - x^2 \leq 2 $$ - Da $4 - x^2 \geq 0$ otteniamo $x^2 \leq 4 \implies x \in [-2,2]$, ma qui $x > 0$ quindi $x \in (0,2]$. - Da $4 - x^2 \leq 2$ otteniamo $x^2 \geq 2 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$, con $x > 0$ quindi $x \geq \sqrt{2}$. - Intersechiamo: $x \in [\sqrt{2}, 2]$. - Quindi la controimmagine è: $$ f^{-1}(T) = [-1,0] \cup [\sqrt{2}, 2] $$ --- **Risposte finali:** - $a = -4$ - $f(S) = (0,4]$ - $f^{-1}(T) = [-1,0] \cup [\sqrt{2}, 2]$