1. **Enunciare il problema:** Dobbiamo trovare tutti i valori reali di $b$ tali che la funzione $$f(x) = \begin{cases} \frac{|x|^{b+1} \sin(x) + 2bx}{\ln(1-2x)} & x < 0 \\ \frac{e^{bx}}{2} & x \geq 0 \end{cases}$$ risulti continua in $x=0$. 2. **Condizione di continuità:** La funzione è continua in $x=0$ se $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x).$$ 3. **Calcolare $f(0)$:** Per $x \geq 0$, $f(0) = \frac{e^{b \cdot 0}}{2} = \frac{1}{2}$. 4. **Calcolare il limite da destra:** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{bx}}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}.$$ 5. **Calcolare il limite da sinistra:** Per $x<0$, $$f(x) = \frac{|x|^{b+1} \sin(x) + 2bx}{\ln(1-2x)}.$$ Osserviamo che $|x| = -x$ per $x<0$, quindi $$f(x) = \frac{(-x)^{b+1} \sin(x) + 2bx}{\ln(1-2x)}.$$ 6. **Sviluppo del limite da sinistra:** Per $x \to 0^-$, usiamo gli sviluppi: - $\sin(x) \sim x$ - $\ln(1-2x) \sim -2x$ Quindi il numeratore diventa $$(-x)^{b+1} \sin(x) + 2bx \sim (-x)^{b+1} x + 2bx = (-1)^{b+1} x^{b+2} + 2bx.$$ Il denominatore è $$\ln(1-2x) \sim -2x.$$ 7. **Limite da sinistra:** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{(-1)^{b+1} x^{b+2} + 2bx}{-2x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(-1)^{b+1} x^{b+2}}{-2x} + \lim_{x \to 0^-} \frac{2bx}{-2x}.$$ 8. **Semplificazioni:** $$\frac{(-1)^{b+1} x^{b+2}}{-2x} = \frac{(-1)^{b+1} x^{b+1}}{-2}$$ $$\frac{2bx}{-2x} = -b$$ 9. **Analisi del termine $x^{b+1}$:** - Se $b+1 > 0$, allora $x^{b+1} \to 0$ per $x \to 0$. - Se $b+1 \leq 0$, il termine diverge o non è definito vicino a zero. Quindi per continuità serve $b+1 > 0 \Rightarrow b > -1$. 10. **Limite da sinistra finale:** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 - b = -b.$$ 11. **Condizione di continuità:** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) \Rightarrow -b = \frac{1}{2} \Rightarrow b = -\frac{1}{2}.$$ 12. **Verifica della condizione $b > -1$:** $b = -\frac{1}{2}$ soddisfa $b > -1$. **Risposta finale:** La funzione è continua in $x=0$ solo per $$b = -\frac{1}{2}.$$