1. **Problema:** Determinare il valore di $a$ per cui $x=\frac{1}{3}$ è un punto estremo della funzione $$f(x) = e^{\frac{3x}{8}} \sqrt{a - x^2} + 2$$ con $a \in \mathbb{R}$. 2. **Formula e regole:** Un punto $x=c$ è estremo se la derivata prima $f'(c) = 0$. Calcoliamo $f'(x)$ usando la regola del prodotto e la derivata di radice e esponenziale. 3. **Calcolo della derivata:** $$f(x) = e^{\frac{3x}{8}} (a - x^2)^{\frac{1}{2}} + 2$$ Deriviamo la parte variabile: $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(e^{\frac{3x}{8}} (a - x^2)^{\frac{1}{2}} \right) = e^{\frac{3x}{8}} \cdot \frac{d}{dx} (a - x^2)^{\frac{1}{2}} + (a - x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx} e^{\frac{3x}{8}}$$ Calcoliamo le derivate: $$\frac{d}{dx} (a - x^2)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (a - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{(a - x^2)^{\frac{1}{2}}}$$ $$\frac{d}{dx} e^{\frac{3x}{8}} = e^{\frac{3x}{8}} \cdot \frac{3}{8}$$ Quindi: $$f'(x) = e^{\frac{3x}{8}} \left(-\frac{x}{(a - x^2)^{\frac{1}{2}}} \right) + (a - x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot e^{\frac{3x}{8}} \cdot \frac{3}{8} = e^{\frac{3x}{8}} \left( -\frac{x}{\sqrt{a - x^2}} + \frac{3}{8} \sqrt{a - x^2} \right)$$ 4. **Condizione per estremo in $x=\frac{1}{3}$:** Poniamo $f'(\frac{1}{3})=0$: $$e^{\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3}} \left( -\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{a - \left(\frac{1}{3}\right)^2}} + \frac{3}{8} \sqrt{a - \left(\frac{1}{3}\right)^2} \right) = 0$$ Poiché $e^{\frac{3}{24}} \neq 0$, si ha: $$-\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{a - \frac{1}{9}}} + \frac{3}{8} \sqrt{a - \frac{1}{9}} = 0$$ 5. **Risolviamo per $a$:** Moltiplichiamo entrambi i membri per $\sqrt{a - \frac{1}{9}}$: $$-\frac{1}{3} + \frac{3}{8} \left(a - \frac{1}{9} \right) = 0$$ 6. **Semplificazione:** $$\frac{3}{8} a - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{3}{8} a - \frac{1}{24} = \frac{1}{3}$$ 7. **Isoliamo $a$:** $$\frac{3}{8} a = \frac{1}{3} + \frac{1}{24} = \frac{8}{24} + \frac{1}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$$ 8. **Conclusione:** $$a = \frac{3}{8} \div \frac{3}{8} = 1$$ **Risposta:** Il valore di $a$ per cui $x=\frac{1}{3}$ è un punto estremo è $$\boxed{1}$$. --- **Nota:** Per lo studio completo della funzione e il disegno del grafico, si dovrebbe analizzare dominio, segno della derivata seconda, e comportamento agli estremi, ma qui si è risolto il primo quesito richiesto.