1. **Stating the problem:** Determiniamo i massimi, minimi, intervalli di crescita e decrescita, flessi e concavità della funzione $$y = e^x |x^2 - 2x|$$. 2. **Analisi della funzione:** La funzione è il prodotto di $$e^x$$, sempre positivo, e del valore assoluto di $$x^2 - 2x = x(x-2)$$. Il valore assoluto implica che la funzione cambia comportamento in corrispondenza degli zeri di $$x^2 - 2x$$, cioè in $$x=0$$ e $$x=2$$. 3. **Riscrittura della funzione a tratti:** - Per $$x \\in (-\infty,0]$$, $$x^2 - 2x \geq 0$$, quindi $$|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$$. - Per $$x \\in [0,2]$$, $$x^2 - 2x \leq 0$$, quindi $$|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$$. - Per $$x \\in [2,+\infty)$$, $$x^2 - 2x \geq 0$$, quindi $$|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$$. Quindi la funzione è: $$ y = \begin{cases} e^x (x^2 - 2x), & x \leq 0 \\ e^x (-x^2 + 2x), & 0 < x < 2 \\ e^x (x^2 - 2x), & x \geq 2 \end{cases} $$ 4. **Calcolo della derivata prima per ogni tratto:** Usiamo la regola del prodotto: $$y' = (e^x)' g(x) + e^x g'(x) = e^x g(x) + e^x g'(x) = e^x (g(x) + g'(x))$$, dove $$g(x)$$ è la parte dentro il valore assoluto senza valore assoluto. - Per $$x \leq 0$$, $$g(x) = x^2 - 2x$$, $$g'(x) = 2x - 2$$. Quindi: $$ y' = e^x ((x^2 - 2x) + (2x - 2)) = e^x (x^2 - 2) $$ - Per $$0 < x < 2$$, $$g(x) = -x^2 + 2x$$, $$g'(x) = -2x + 2$$. Quindi: $$ y' = e^x ((-x^2 + 2x) + (-2x + 2)) = e^x (-x^2 + 2) $$ - Per $$x \geq 2$$, come per $$x \leq 0$$: $$ y' = e^x (x^2 - 2) $$ 5. **Studio del segno della derivata prima:** Poiché $$e^x > 0$$ sempre, il segno di $$y'$$ dipende da $$x^2 - 2$$ o $$-x^2 + 2$$. - Per $$x \leq 0$$ e $$x \geq 2$$, segno di $$y'$$ è segno di $$x^2 - 2$$: - $$x^2 - 2 = 0$$ per $$x = \pm \sqrt{2}$$. - Per $$|x| < \sqrt{2}$$, $$x^2 - 2 < 0$$, quindi $$y' < 0$$. - Per $$|x| > \sqrt{2}$$, $$x^2 - 2 > 0$$, quindi $$y' > 0$$. - Per $$0 < x < 2$$, segno di $$y'$$ è segno di $$-x^2 + 2 = 2 - x^2$$: - Zero in $$x = \sqrt{2}$$. - Per $$x < \sqrt{2}$$, $$2 - x^2 > 0$$, quindi $$y' > 0$$. - Per $$x > \sqrt{2}$$, $$2 - x^2 < 0$$, quindi $$y' < 0$$. 6. **Sintesi intervalli di crescita e decrescita:** - Per $$x < -\sqrt{2}$$, $$y' > 0$$ (crescente). - Per $$-\sqrt{2} < x < 0$$, $$y' < 0$$ (decrescente). - Per $$0 < x < \sqrt{2}$$, $$y' > 0$$ (crescente). - Per $$\sqrt{2} < x < 2$$, $$y' < 0$$ (decrescente). - Per $$x > 2$$, $$y' > 0$$ (crescente). 7. **Massimi e minimi:** - In $$x = -\sqrt{2}$$, da crescente a decrescente: massimo locale. - In $$x = 0$$, punto di non derivabilità (valore assoluto), ma da decrescente a crescente: minimo locale. - In $$x = \sqrt{2}$$, da crescente a decrescente: massimo locale. - In $$x = 2$$, punto di non derivabilità, da decrescente a crescente: minimo locale. 8. **Calcolo della derivata seconda per studiare concavità e flessi:** Deriviamo $$y'$$ per ogni tratto. - Per $$x \leq 0$$ e $$x \geq 2$$: $$ y' = e^x (x^2 - 2)$$ $$ y'' = (e^x)' (x^2 - 2) + e^x (2x) = e^x (x^2 - 2) + e^x (2x) = e^x (x^2 + 2x - 2) $$ - Per $$0 < x < 2$$: $$ y' = e^x (-x^2 + 2)$$ $$ y'' = (e^x)' (-x^2 + 2) + e^x (-2x) = e^x (-x^2 + 2) + e^x (-2x) = e^x (-x^2 - 2x + 2) $$ 9. **Studio del segno della derivata seconda:** Poiché $$e^x > 0$$, il segno di $$y''$$ dipende da: - $$x^2 + 2x - 2$$ per $$x \leq 0$$ e $$x \geq 2$$. - $$-x^2 - 2x + 2$$ per $$0 < x < 2$$. Radici di $$x^2 + 2x - 2 = 0$$: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$$ - $$-1 - \sqrt{3} < 0$$, circa $$-2.732$$. - $$-1 + \sqrt{3} > 0$$, circa $$0.732$$. 10. **Concavità e flessi:** - Per $$x \leq 0$$, concavità cambia in $$x = -1 - \sqrt{3}$$ (fuori da $$x \leq 0$$) e $$x = -1 + \sqrt{3}$$ (circa 0.732, fuori da $$x \leq 0$$), quindi nessun flesso in $$x \leq 0$$. - Per $$0 < x < 2$$, studiamo $$-x^2 - 2x + 2 = 0$$: $$x^2 + 2x - 2 = 0$$ ha radici come sopra, quindi radici di $$-x^2 - 2x + 2 = 0$$ sono le stesse. - Solo $$x = -1 + \sqrt{3} \approx 0.732$$ è in $$]0,2[$$. Quindi: - La funzione ha un flesso in $$x \approx 0.732$$. - Per $$x \geq 2$$, concavità dipende da $$x^2 + 2x - 2$$: - Per $$x=2$$, valore positivo, quindi concavità verso l'alto. - Nessun cambio di segno oltre $$x=2$$. 11. **Conclusioni:** - Massimi locali in $$x = -\sqrt{2}$$ e $$x = \sqrt{2}$$. - Minimi locali in $$x = 0$$ e $$x = 2$$. - Crescita e decrescita come da punto 6. - Un flesso in $$x \approx 0.732$$. - Concavità cambia solo nel tratto $$]0,2[$$ in $$x \approx 0.732$$. **Risposta finale:** Massimi in $$x = -\sqrt{2}, \sqrt{2}$$. Minimi in $$x = 0, 2$$. Flesso in $$x \approx 0.732$$. Crescente in $$(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (0, \sqrt{2}) \cup (2, +\infty)$$. Decrescente in $$(-\sqrt{2}, 0) \cup (\sqrt{2}, 2)$$. Concavità verso l'alto per $$x \leq -1 - \sqrt{3}$$ e $$x \geq 2$$, verso il basso in $$]0, 0.732[$$, e di nuovo verso l'alto in $$]0.732, 2[$$.