1. **Problema:** Studiare dominio, intersezioni, segno, limiti, derivata prima e seconda della funzione $$y = x \sqrt{x+3}$$. 2. **Dominio:** La radice quadrata richiede $$x+3 \geq 0$$, quindi $$x \geq -3$$. 3. **Intersezioni:** - Intersezione con l'asse $$x$$: $$y=0 \Rightarrow x \sqrt{x+3} = 0$$, quindi $$x=0$$ o $$\sqrt{x+3}=0 \Rightarrow x=-3$$. - Intersezione con l'asse $$y$$: per $$x=0$$, $$y=0$$. 4. **Segno:** - Per $$x > 0$$, $$x > 0$$ e $$\sqrt{x+3} > 0$$, quindi $$y > 0$$. - Per $$-3 \leq x < 0$$, $$x < 0$$ ma $$\sqrt{x+3} > 0$$, quindi $$y < 0$$. 5. **Limiti:** - $$\lim_{x \to -3^+} x \sqrt{x+3} = -3 \cdot 0 = 0$$. - $$\lim_{x \to +\infty} x \sqrt{x+3} \approx x \sqrt{x} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} \to +\infty$$. 6. **Derivata prima:** Usiamo la regola del prodotto: $$y = x \cdot (x+3)^{1/2}$$. $$y' = 1 \cdot (x+3)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2} (x+3)^{-1/2} \cdot 1 = (x+3)^{1/2} + \frac{x}{2 \sqrt{x+3}}$$. Mettiamo a denominatore comune: $$y' = \frac{2(x+3) + x}{2 \sqrt{x+3}} = \frac{2x + 6 + x}{2 \sqrt{x+3}} = \frac{3x + 6}{2 \sqrt{x+3}}$$. 7. **Segno derivata prima:** - Il denominatore $$2 \sqrt{x+3} > 0$$ per $$x > -3$$. - Il numeratore $$3x + 6 = 3(x+2)$$ cambia segno in $$x = -2$$. - Quindi $$y' > 0$$ per $$x > -2$$ e $$y' < 0$$ per $$-3 < x < -2$$. 8. **Derivata seconda:** Deriviamo $$y' = \frac{3x + 6}{2 \sqrt{x+3}}$$ usando la regola del quoziente: $$y'' = \frac{(3)(2 \sqrt{x+3}) - (3x + 6) \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \sqrt{x+3}}}{(2 \sqrt{x+3})^2}$$ Calcoliamo passo passo: - Derivata denominatore: $$2 \sqrt{x+3} = 2 (x+3)^{1/2}$$ - Derivata di $$2 \sqrt{x+3}$$ è $$2 \cdot \frac{1}{2} (x+3)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$$ Quindi: $$y'' = \frac{3 \cdot 2 \sqrt{x+3} - (3x + 6) \cdot \frac{1}{\sqrt{x+3}}}{4 (x+3)} = \frac{6 \sqrt{x+3} - \frac{3x + 6}{\sqrt{x+3}}}{4 (x+3)}$$ Mettiamo a denominatore comune nel numeratore: $$= \frac{\frac{6 (x+3) - (3x + 6)}{\sqrt{x+3}}}{4 (x+3)} = \frac{6x + 18 - 3x - 6}{4 (x+3) \sqrt{x+3}} = \frac{3x + 12}{4 (x+3) \sqrt{x+3}}$$ 9. **Segno derivata seconda:** - Denominatore $$4 (x+3) \sqrt{x+3} > 0$$ per $$x > -3$$. - Numeratore $$3x + 12 = 3(x+4)$$ cambia segno in $$x = -4$$, ma $$x \geq -3$$ quindi numeratore sempre positivo nel dominio. - Quindi $$y'' > 0$$ per tutto il dominio. **Risultati finali:** - Dominio: $$[-3, +\infty)$$ - Intersezioni: $$x = -3, 0$$ - Segno: negativo in $$[-3,0)$$, positivo in $$(0, +\infty)$$ - Limiti: $$\lim_{x \to -3^+} y = 0$$, $$\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$$ - Derivata prima: $$y' = \frac{3x + 6}{2 \sqrt{x+3}}$$, cambia segno in $$x = -2$$ - Derivata seconda: $$y'' = \frac{3x + 12}{4 (x+3) \sqrt{x+3}} > 0$$ per tutto il dominio, funzione convessa.