1. **Problema:** Studiare la funzione $$f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 2x + 2}$$. 2. **Dominio:** Il denominatore non deve essere zero. Calcoliamo: $$x^2 - 2x + 2 = 0$$ Calcoliamo il discriminante: $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0$$ Poiché il discriminante è negativo, il denominatore non si annulla per nessun valore reale di $x$. Quindi il dominio è: $$\mathbb{R}$$ 3. **Asintoti verticali:** Non ci sono perché il denominatore non si annulla. 4. **Asintoti orizzontali o obliqui:** Calcoliamo il limite per $x \to \pm \infty$: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 1}{x^2 - 2x + 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x(1 - \frac{1}{x})}{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2})} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{x(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2})} = 0$$ Quindi: $$y = 0$$ è un asintoto orizzontale. 5. **Derivata per studio monotonia:** Usiamo la regola del quoziente: $$f'(x) = \frac{(1)(x^2 - 2x + 2) - (x - 1)(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 2)^2}$$ Calcoliamo il numeratore: $$N = x^2 - 2x + 2 - (x - 1)(2x - 2)$$ Espandiamo: $$(x - 1)(2x - 2) = 2x^2 - 2x - 2x + 2 = 2x^2 - 4x + 2$$ Quindi: $$N = x^2 - 2x + 2 - (2x^2 - 4x + 2) = x^2 - 2x + 2 - 2x^2 + 4x - 2 = -x^2 + 2x$$ 6. **Segno della derivata:** $$f'(x) = \frac{-x^2 + 2x}{(x^2 - 2x + 2)^2}$$ Il denominatore è sempre positivo, quindi il segno dipende dal numeratore: $$-x^2 + 2x = -x(x - 2)$$ - Per $x \in (0, 2)$, $-x(x - 2) > 0$ quindi $f'(x) > 0$ (funzione crescente). - Per $x < 0$ o $x > 2$, $f'(x) < 0$ (funzione decrescente). 7. **Punti critici:** Si trovano risolvendo $f'(x) = 0$: $$-x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(-x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ o } x = 2$$ 8. **Valori della funzione nei punti critici:** $$f(0) = \frac{0 - 1}{0^2 - 0 + 2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$$ $$f(2) = \frac{2 - 1}{4 - 4 + 2} = \frac{1}{2}$$ 9. **Conclusioni:** - La funzione è decrescente per $x < 0$, crescente per $0 < x < 2$, decrescente per $x > 2$. - Ha un minimo locale in $x=0$ con valore $-\frac{1}{2}$. - Ha un massimo locale in $x=2$ con valore $\frac{1}{2}$. - Dominio: $\mathbb{R}$. - Asintoto orizzontale: $y=0$. **Risultato finale:** La funzione è definita su tutti i reali, ha un minimo locale in $(0, -\frac{1}{2})$, un massimo locale in $(2, \frac{1}{2})$ e un asintoto orizzontale in $y=0$.