1. **Enunciato del problema:** Studiamo la funzione $$y = (x - 1) e^{-(x - 1)^2}$$ per analizzarne dominio, derivata, punti critici, monotonia e concavità. 2. **Dominio:** La funzione è definita per ogni $x \in \mathbb{R}$ perché è un prodotto di un polinomio e un'esponenziale, entrambi definiti su tutto $\mathbb{R}$. 3. **Derivata prima:** Usiamo la regola del prodotto: $$y' = \frac{d}{dx}[(x-1)] \cdot e^{-(x-1)^2} + (x-1) \cdot \frac{d}{dx}\left(e^{-(x-1)^2}\right)$$ Calcoliamo ogni termine: - $$\frac{d}{dx}[(x-1)] = 1$$ - Per la derivata dell'esponenziale usiamo la catena: $$\frac{d}{dx} e^{-(x-1)^2} = e^{-(x-1)^2} \cdot \frac{d}{dx}[-(x-1)^2] = e^{-(x-1)^2} \cdot (-2)(x-1)$$ Quindi: $$y' = 1 \cdot e^{-(x-1)^2} + (x-1) \cdot e^{-(x-1)^2} \cdot (-2)(x-1) = e^{-(x-1)^2} - 2(x-1)^2 e^{-(x-1)^2}$$ 4. **Fattorizzazione della derivata:** $$y' = e^{-(x-1)^2} \left(1 - 2(x-1)^2\right)$$ 5. **Punti critici:** Poniamo $y' = 0$: $$e^{-(x-1)^2} \left(1 - 2(x-1)^2\right) = 0$$ Poiché $e^{-(x-1)^2} \neq 0$ per ogni $x$, risolviamo: $$1 - 2(x-1)^2 = 0 \Rightarrow 2(x-1)^2 = 1 \Rightarrow (x-1)^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x - 1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Quindi i punti critici sono: $$x = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 6. **Segno della derivata e monotonia:** - Per $|x-1| < \frac{1}{\sqrt{2}}$, cioè tra i due punti critici, $1 - 2(x-1)^2 > 0$ quindi $y' > 0$ e la funzione è crescente. - Per $|x-1| > \frac{1}{\sqrt{2}}$, $1 - 2(x-1)^2 < 0$ quindi $y' < 0$ e la funzione è decrescente. 7. **Derivata seconda:** Calcoliamo $y''$ per studiare concavità: $$y' = e^{-(x-1)^2} \left(1 - 2(x-1)^2\right)$$ Deriviamo usando il prodotto: $$y'' = \frac{d}{dx} \left(e^{-(x-1)^2}\right) \left(1 - 2(x-1)^2\right) + e^{-(x-1)^2} \frac{d}{dx} \left(1 - 2(x-1)^2\right)$$ Calcoliamo i singoli termini: - $$\frac{d}{dx} e^{-(x-1)^2} = e^{-(x-1)^2} \cdot (-2)(x-1)$$ - $$\frac{d}{dx} \left(1 - 2(x-1)^2\right) = -4(x-1)$$ Quindi: $$y'' = e^{-(x-1)^2} (-2)(x-1) \left(1 - 2(x-1)^2\right) + e^{-(x-1)^2} (-4)(x-1)$$ Fattorizziamo: $$y'' = e^{-(x-1)^2} (x-1) \left[-2 \left(1 - 2(x-1)^2\right) - 4\right] = e^{-(x-1)^2} (x-1) \left[-2 + 4(x-1)^2 - 4\right]$$ Semplificando: $$y'' = e^{-(x-1)^2} (x-1) \left(4(x-1)^2 - 6\right)$$ 8. **Punti di flesso:** Poniamo $y''=0$: $$e^{-(x-1)^2} (x-1) \left(4(x-1)^2 - 6\right) = 0$$ Poiché l'esponenziale è sempre positivo, risolviamo: - $$x-1=0 \Rightarrow x=1$$ - $$4(x-1)^2 - 6=0 \Rightarrow (x-1)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow x-1 = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$ Quindi i punti di flesso sono: $$x = 1, \quad x = 1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$ 9. **Concavità:** - Per $x < 1$, il segno di $y''$ dipende da $(x-1)$ negativo e dal termine $4(x-1)^2 - 6$. - Per $|x-1| < \sqrt{\frac{3}{2}}$, $4(x-1)^2 - 6 < 0$ quindi il segno di $y''$ è opposto a quello di $(x-1)$. - Per $|x-1| > \sqrt{\frac{3}{2}}$, $4(x-1)^2 - 6 > 0$ quindi il segno di $y''$ è uguale a quello di $(x-1)$. 10. **Riassunto:** - Dominio: $\mathbb{R}$ - Punti critici: $x = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ - Crescita: crescente tra i punti critici, decrescente fuori - Punti di flesso: $x = 1$, $x = 1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ Questa analisi completa lo studio della funzione.