1. Stwierdźmy problem: Mamy funkcję zdefiniowaną częściowo: $$f(x) = \begin{cases} \arctan|x| & \text{dla } x \leq 0 \\ -\log_2 x & \text{dla } x > 0 \end{cases}$$ Chcemy sprawdzić, czy funkcja jest malejąca na zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$. 2. Przypomnijmy, że funkcja jest malejąca, jeśli dla każdego $x_1 < x_2$ zachodzi $f(x_1) \geq f(x_2)$. 3. Rozważmy osobno przedziały $x \leq 0$ i $x > 0$. 4. Dla $x \leq 0$ mamy $f(x) = \arctan|x| = \arctan(-x)$, ponieważ $|x| = -x$ gdy $x \leq 0$. Funkcja $g(x) = \arctan(-x)$ jest malejąca, ponieważ pochodna: $$g'(x) = \frac{d}{dx} \arctan(-x) = \frac{-1}{1 + (-x)^2} = \frac{-1}{1 + x^2} < 0$$ na całym przedziale $(-\infty, 0]$. 5. Dla $x > 0$ mamy $f(x) = -\log_2 x$. Pochodna tej funkcji to: $$f'(x) = - \frac{d}{dx} \log_2 x = - \frac{1}{x \ln 2} < 0$$ na całym przedziale $(0, +\infty)$, ponieważ $x > 0$ i $\ln 2 > 0$. 6. Sprawdźmy ciągłość i monotoniczność w punkcie $x=0$: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \arctan|0| = \arctan 0 = 0$$ $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\log_2 0^+ = -(-\infty) = +\infty$$ Funkcja ma skok w $x=0$, ale to nie wpływa na monotoniczność na całym $\mathbb{R}$, ponieważ na lewo od 0 jest malejąca, a na prawo również malejąca. 7. Wniosek: Funkcja $f$ jest malejąca na każdym z przedziałów $(-\infty, 0]$ i $(0, +\infty)$, a więc jest malejąca na zbiorze $\mathbb{R}$ z wyłączeniem punktu $0$, gdzie jest nieciągła. Odpowiedź: Tak, funkcja $f$ jest malejąca na zbiorze $\mathbb{R}$.