📘 analiza matematyczna

1. Stwierdzenie problemu: Musimy wykazać, że dana funkcja jest malejąca na określonym przedziale. 2. Przypomnijmy, że funkcja jest malejąca na przedziale, jeśli dla każdego $x_1 <

1. Stwierdzenie problemu: Mamy ciąg o wyrazie ogólnym $(-1)^n a_n$ i chcemy zbadać jego zbieżność. 2. Wzór i zasady: Ciąg naprzemienny ma postać $(-1)^n a_n$, gdzie $a_n$ to ciąg d

1. Stwierdźmy problem: Mamy funkcję zdefiniowaną częściowo: $$f(x) = \begin{cases} \arctan|x| & \text{dla } x \leq 0 \\ -\log_2 x & \text{dla } x > 0 \end{cases}$$

1. Stwierdzenie problemu: Znajdź punkty przegięcia i przedziały wklęsłości funkcji $$f(x) = \ln(4 - x^2)$$. 2. Wzory i zasady: Punkty przegięcia występują tam, gdzie druga pochodna

1. Problem: Odczytaj granice funkcji $f$ z wykresu dla podanych punktów i kierunków. 2. Przypomnienie: Granica jednostronna $\lim_{x \to a^-} f(x)$ oznacza wartość funkcji, gdy $x$

1. Stwierdzenie problemu: Mamy ciąg $a_n = \frac{3n - 2}{n + 4}$ i chcemy zbadać jego monotoniczność oraz wyznaczyć granicę tego ciągu. 2. Wzór ciągu: $$a_n = \frac{3n - 2}{n + 4}$

1. **Zadanie 3: Badanie ciągłości funkcji** Dana jest funkcja:

1. **Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:** (a) $a_n = \frac{5n^4 - 12n^3 + 13n + 5}{6n^3 - 2n^2 + 3}$

1. Stwierdźmy problem: obliczyć granicę funkcji $$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n - 3}{\sqrt{9n^4 - 2n^3 + 7n^2 + 5} - 3n^2 + 2n}$$. 2. Zauważmy, że w mianowniku mamy wyrażenie z pie

1. Stwierdźmy problem: obliczyć granicę funkcji $$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n - 3}{\sqrt{9n^4 - 2n^3 + 7n^2 + 5}} - 3n^2 + 2n$$. 2. Rozpocznijmy od analizy wyrażenia pod pierwias