1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a $$S_n = U_0 + U_1 + \cdots + U_{n-1} \geq 4n - 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$$ 2. **Rappel des résultats précédents :** On sait que pour tout $n$, $2 \leq U_n \leq 4$ et que $$4 - U_n \leq 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n.$$ 3. **Exprimer $U_n$ en fonction de $4 - U_n$ :** $$U_n = 4 - (4 - U_n) \geq 4 - 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 4 - 2^{1-n}.$$ 4. **Sommer les inégalités pour $k=0$ à $n-1$ :** $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} U_k \geq \sum_{k=0}^{n-1} \left(4 - 2^{1-k}\right) = \sum_{k=0}^{n-1} 4 - \sum_{k=0}^{n-1} 2^{1-k} = 4n - 2 \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^k.$$ 5. **Calcul de la somme géométrique :** $$\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right).$$ 6. **Substitution dans l'inégalité :** $$S_n \geq 4n - 2 \times 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) = 4n - 4 + 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 4n - 4 + 2^{1-n}.$$ 7. **Comparer avec l'inégalité demandée :** L'inégalité à montrer est $$S_n \geq 4n - 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 4n - 2 + 2^{1-n}.$$ 8. **Conclusion :** On a obtenu $$S_n \geq 4n - 4 + 2^{1-n}$$ qui est plus faible que $$4n - 2 + 2^{1-n}$$ car $$4n - 4 + 2^{1-n} < 4n - 2 + 2^{1-n}$$ pour tout $n$. Cela signifie que l'inégalité demandée est plus forte que celle que l'on peut déduire directement. Il faut donc utiliser une autre méthode ou hypothèse pour renforcer l'inégalité. **Remarque :** La question 5 semble demander une démonstration plus fine, probablement par récurrence en utilisant la relation de récurrence et les résultats précédents. Cependant, avec les données fournies, on a montré une borne inférieure proche. **Résumé :** - On a exprimé $U_n$ en fonction de $4 - U_n$. - On a sommée les inégalités pour obtenir une borne inférieure pour $S_n$. - La borne obtenue est $$S_n \geq 4n - 4 + 2^{1-n}$$. - Pour obtenir la borne demandée, une méthode plus précise est nécessaire.