1. Énoncé du problème : Étudier l'ensemble 𝓔 des fonctions continues $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $$f(x+y) + f(x-y) = 2 f(x) f(y) \quad \forall x,y \in \mathbb{R}.$$ 2. Montrer que $f(x) = \cos x$ appartient à 𝓔 : - Utiliser la formule trigonométrique $$\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2 \cos x \cos y.$$ - Ainsi, $f(x+y) + f(x-y) = 2 \cos x \cos y = 2 f(x) f(y)$, donc $\cos x \in 𝓔$. 3. Montrer que $f(x) = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ appartient à 𝓔 : - Utiliser la formule d'addition pour le cosinus hyperbolique : $$\cosh(x+y) + \cosh(x-y) = 2 \cosh x \cosh y.$$ - Donc $f(x+y) + f(x-y) = 2 f(x) f(y)$, donc $\cosh x \in 𝓔$. 4. Conclusion : Les fonctions $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \cosh x$ appartiennent à 𝓔.