1. **Énoncé du problème :** Trouver le point d'intersection de la fonction $y = -\sqrt{x + 16} + 2$ avec l'axe des $x$ et calculer l'aire totale entre la courbe et l'axe des $x$ sur l'intervalle $[-15, 0]$. 2. **Trouver le point d'intersection avec l'axe des $x$ :** On pose $y=0$ car l'axe des $x$ correspond à $y=0$. $$0 = -\sqrt{x + 16} + 2$$ Isolons la racine : $$-\sqrt{x + 16} = -2$$ $$\sqrt{x + 16} = 2$$ En élevant au carré des deux côtés : $$x + 16 = 2^2 = 4$$ Donc : $$x = 4 - 16 = -12$$ Le point d'intersection est donc $(-12, 0)$. 3. **Déterminer les intervalles où la fonction est positive ou négative :** - Sur $[-15, -12]$, $y$ est positive. - Sur $[-12, 0]$, $y$ est négative. 4. **Calcul de l'aire totale $A$ entre la courbe et l'axe des $x$ :** L'aire totale est la somme des aires positives et négatives (en valeur absolue) : $$A = \int_{-15}^{-12} \left(-\sqrt{x + 16} + 2\right) dx + \int_{-12}^0 \left| -\sqrt{x + 16} + 2 \right| dx$$ Comme la fonction est négative sur $[-12, 0]$, on prend l'opposé dans l'intégrale : $$A = \int_{-15}^{-12} \left(-\sqrt{x + 16} + 2\right) dx + \int_{-12}^0 \left(\sqrt{x + 16} - 2\right) dx$$ 5. **Changement de variable :** Posons $u = x + 16$, donc $du = dx$. Les bornes changent : - Pour $x = -15$, $u = 1$ - Pour $x = -12$, $u = 4$ - Pour $x = 0$, $u = 16$ L'aire devient : $$A = \int_1^4 (-\sqrt{u} + 2) du + \int_4^{16} (\sqrt{u} - 2) du$$ 6. **Simplification des intégrales :** On écrit $\sqrt{u} = u^{1/2}$ : $$A = \int_1^4 (-u^{1/2} + 2) du + \int_4^{16} (u^{1/2} - 2) du$$ On sépare les intégrales : $$A = -\int_1^4 u^{1/2} du + \int_1^4 2 du + \int_4^{16} u^{1/2} du - \int_4^{16} 2 du$$ 7. **Calcul des intégrales :** Rappel : $$\int u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C$$ $$\int 2 du = 2u + C$$ Calculons chaque terme : - $-\int_1^4 u^{1/2} du = -\left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^4 = -\left( \frac{2}{3} \times 4^{3/2} - \frac{2}{3} \times 1^{3/2} \right) = -\left( \frac{2}{3} \times 8 - \frac{2}{3} \times 1 \right) = -\left( \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \right) = -\frac{14}{3}$ - $\int_1^4 2 du = [2u]_1^4 = 2 \times 4 - 2 \times 1 = 8 - 2 = 6$ - $\int_4^{16} u^{1/2} du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_4^{16} = \frac{2}{3} (16^{3/2} - 4^{3/2}) = \frac{2}{3} (64 - 8) = \frac{2}{3} \times 56 = \frac{112}{3}$ - $-\int_4^{16} 2 du = -[2u]_4^{16} = -(2 \times 16 - 2 \times 4) = -(32 - 8) = -24$ 8. **Addition des résultats :** $$A = -\frac{14}{3} + 6 + \frac{112}{3} - 24 = \left(-\frac{14}{3} + \frac{112}{3}\right) + (6 - 24) = \frac{98}{3} - 18 = \frac{98}{3} - \frac{54}{3} = \frac{44}{3}$$ 9. **Conclusion :** L'aire totale entre la courbe et l'axe des $x$ sur $[-15, 0]$ est : $$\boxed{\frac{44}{3}}$$