1. Énoncé du problème : Résumer les notions clés des suites, limites, fonctions continues et dérivabilité en analyse, pour un cours d'ingénieur. 2. Suites : Une suite $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres. La limite d'une suite est la valeur que $u_n$ approche quand $n$ tend vers l'infini. Formellement, $\lim_{n \to \infty} u_n = L$ signifie que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N$ tel que pour tout $n > N$, $|u_n - L| < \varepsilon$. 3. Limites de fonctions : La limite d'une fonction $f(x)$ en un point $a$ est la valeur que $f(x)$ approche quand $x$ tend vers $a$. On écrit $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $|x - a| < \delta$ implique $|f(x) - L| < \varepsilon$. 4. Continuité : Une fonction $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Cela signifie qu'il n'y a pas de saut ou de trou en $a$. 5. Dérivabilité : Une fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ existe. La dérivée $f'(a)$ représente la pente de la tangente à la courbe en $a$. 6. Résumé : - Suites convergentes ont une limite finie. - Limite de fonction décrit le comportement près d'un point. - Continuité assure que la fonction n'a pas de discontinuités. - Dérivabilité implique continuité et mesure la variation locale. Ceci est un résumé synthétique des notions fondamentales d'analyse pour le semestre 1.