1. Énoncé du problème : On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = (x^2 - 4x)e^{2x}.$$ Nous devons déterminer si cette fonction admet une asymptote oblique, verticale, horizontale ou aucune asymptote. 2. Rappel des définitions : - Une asymptote verticale existe en $x=a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$. - Une asymptote horizontale existe si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$ où $L$ est une constante. - Une asymptote oblique existe si $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = m$ (pente) et $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = b$ (ordonnée à l'origine), avec $m \neq 0$. 3. Étude des asymptotes verticales : La fonction $f$ est définie sur tout $\mathbb{R}$ car $e^{2x}$ est définie partout et $x^2 - 4x$ est un polynôme. Il n'y a donc pas de points où $f$ diverge vers l'infini à cause d'une division par zéro ou autre. Donc, pas d'asymptote verticale. 4. Étude des asymptotes horizontales : Calculons $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : $$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 4x)e^{2x} = +\infty$$ car $e^{2x}$ croît très rapidement. Calculons $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ : $$\lim_{x \to -\infty} (x^2 - 4x)e^{2x}.$$ Ici, $e^{2x} \to 0$ très rapidement, tandis que $x^2 - 4x$ tend vers $+\infty$. Le produit tend vers 0 car l'exponentielle décroît plus vite que le polynôme ne croît. Donc, $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0.$$ Cela signifie que $y=0$ est une asymptote horizontale à gauche. 5. Étude des asymptotes obliques : Pour une asymptote oblique à $+\infty$, on calcule $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 - 4x)e^{2x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} (x - 4) e^{2x} = +\infty,$$ ce qui n'est pas fini, donc pas d'asymptote oblique à droite. Pour $x \to -\infty$, $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 - 4x)e^{2x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} (x - 4) e^{2x} = 0,$$ car $e^{2x} \to 0$. Puis, $$b = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0.$$ Donc la droite $y=0$ est une asymptote horizontale, pas oblique. 6. Conclusion : - Pas d'asymptote verticale. - Asymptote horizontale $y=0$ à gauche. - Pas d'asymptote oblique. Réponse correcte : c. $f$ admet une asymptote horizontale $y=0$.