1. **Énoncé du problème :** Trouver les asymptotes obliques de la fonction $$f(x) = \sqrt{x^2 + x} + (x - 1)$$ dont le domaine est $$\{x \mid x \geq 0 \text{ ou } x \leq -1\}$$. 2. **Rappel sur les asymptotes obliques :** Une asymptote oblique existe si la limite $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$$ est finie et non nulle, et si la limite $$\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - (ax + b)) = 0$$ où $$a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$$ et $$b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax)$$. 3. **Calcul de l'asymptote oblique à droite ($x \to +\infty$) :** - Calcul de $$a$$ : $$ a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + x} + (x - 1)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} + \frac{x - 1}{x} \right)$$ - Simplifions $$\frac{\sqrt{x^2 + x}}{x}$$ : $$ \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} = \frac{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x})}}{x} = \frac{x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x} = \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$$ - Donc, $$ a = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1 - \frac{1}{x} \right) = 1 + 1 - 0 = 2$$ - Calcul de $$b$$ : $$ b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} + x - 1 - 2x \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x - 1 \right)$$ - Simplifions $$\sqrt{x^2 + x} - x$$ : $$ \sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + x} - x)(\sqrt{x^2 + x} + x)}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}$$ - Pour $$x \to +\infty$$ : $$ \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{x \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + x} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} \to \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ - Donc, $$ b = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} - 1 \right) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$$ - L'asymptote oblique à droite est donc : $$ y = 2x - \frac{1}{2}$$ 4. **Calcul de l'asymptote oblique à gauche ($x \to -\infty$) :** - Calcul de $$a$$ : $$ a = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + x} + (x - 1)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} + 1 - \frac{1}{x} \right)$$ - Pour $$x < 0$$, $$\frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} = \frac{|x| \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x} = \frac{-x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x} = -\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$$ - Donc, $$ a = \lim_{x \to -\infty} \left( -\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1 - \frac{1}{x} \right) = -1 + 1 - 0 = 0$$ - Comme $$a = 0$$, il n'y a pas d'asymptote oblique à gauche. 5. **Conclusion :** - La fonction $$f(x)$$ admet une asymptote oblique à droite donnée par $$y = 2x - \frac{1}{2}$$. - Il n'y a pas d'asymptote oblique à gauche.