1. Énonçons le problème : Trouver les asymptotes et les tangentes d'une fonction donnée. 2. Pour trouver les asymptotes verticales, on cherche les valeurs de $x$ où la fonction n'est pas définie (souvent où le dénominateur est nul) et on vérifie la limite de la fonction en ces points. 3. Pour les asymptotes horizontales, on calcule les limites de la fonction quand $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$. 4. Pour les tangentes en un point $x=a$, on calcule la dérivée $f'(a)$ qui donne la pente de la tangente, puis on utilise la formule de la tangente : $$y = f(a) + f'(a)(x - a)$$ 5. Exemple : Soit la fonction $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$. 6. Trouvons les asymptotes verticales : Le dénominateur est nul en $x=1$, donc on étudie la limite en $x \to 1$. $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$$ Donc, $x=1$ est une asymptote verticale. 7. Trouvons les asymptotes horizontales : Calculons $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+3}{x-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x+3}{x-1} = 2$$ Donc, $y=2$ est une asymptote horizontale. 8. Trouvons la tangente en $x=0$ : Calculons $f(0) = \frac{0+3}{0-1} = -3$. Calculons la dérivée : $$f'(x) = \frac{(2)(x-1) - (2x+3)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2}$$ Donc, $$f'(0) = \frac{-5}{(0-1)^2} = -5$$ La tangente en $x=0$ est : $$y = -3 - 5(x - 0) = -3 - 5x$$ Réponse finale : - Asymptote verticale : $x=1$ - Asymptote horizontale : $y=2$ - Tangente en $x=0$ : $y = -3 - 5x$