1. **Énoncé du problème :** Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ une application croissante. On définit l'ensemble $E = \{x \in [0,1] : f(x) \geq x\}$. Montrer que $E$ admet une borne supérieure $b$. 2. **Montrer que $f(b) = b$**. --- 1. **Montrer que $E$ admet une borne supérieure $b$ :** - L'ensemble $E$ est non vide car $0 \in [0,1]$ et $f(0) \in [0,1]$. Puisque $f$ est croissante, on peut vérifier si $f(0) \geq 0$ (ce qui est vrai car $f(0) \in [0,1]$), donc $0 \in E$. - L'ensemble $E$ est inclus dans $[0,1]$, donc $E$ est borné supérieurement par $1$. - Par le théorème de la borne supérieure (axiome de complétude de $\mathbb{R}$), tout ensemble non vide et borné supérieurement admet une borne supérieure. Donc, $b = \sup E$ existe et $b \in [0,1]$. 2. **Prouver que $f(b) = b$ :** - Par définition de $b = \sup E$, pour tout $x \in E$, on a $x \leq b$. - Comme $f$ est croissante, pour tout $x \in E$, $f(x) \geq x$ et donc $f(x) \leq f(b)$ car $x \leq b$. - Supposons par l'absurde que $f(b) > b$. - Alors, comme $f(b) > b$, il existe un $\varepsilon > 0$ tel que $f(b) \geq b + \varepsilon$. - Par continuité monotone (car $f$ est croissante), pour $x$ proche de $b$ par la gauche, $f(x)$ est proche de $f(b)$ et donc $f(x) > x$ pour $x$ suffisamment proche de $b$. - Cela implique qu'il existe $x > b$ avec $f(x) \geq x$, donc $x \in E$ et $x > b$, ce qui contredit que $b$ est la borne supérieure de $E$. - Supposons maintenant que $f(b) < b$. - Alors, $f(b) < b$ implique que pour $x$ proche de $b$ par la droite, $f(x) < x$ (car $f$ est croissante). - Cela signifie que pour $x$ juste inférieur à $b$, $f(x) < x$, donc ces $x$ ne sont pas dans $E$, ce qui contredit que $b$ est la borne supérieure de $E$. - La seule possibilité restante est donc $f(b) = b$. **Réponse finale :** $$b = \sup \{x \in [0,1] : f(x) \geq x\} \quad \text{et} \quad f(b) = b.$$