1. Énoncé du problème : Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = \begin{cases} x^3 \ln|x| & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$. 2. Rappel : Une fonction est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ si elle est dérivable partout sur $\mathbb{R}$ et si sa dérivée est continue sur $\mathbb{R}$. 3. Calcul de la dérivée pour $x \neq 0$ : On utilise la règle du produit : $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) \cdot \ln|x| + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(\ln|x|)$$ Calculons chaque terme : - $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$ - $\frac{d}{dx}(\ln|x|) = \frac{1}{x}$ (pour $x \neq 0$) Donc : $$f'(x) = 3x^2 \ln|x| + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln|x| + x^2$$ 4. Vérification de la dérivabilité en $x=0$ : On doit vérifier que la limite $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 \ln|x| - 0}{x} = \lim_{x \to 0} x^2 \ln|x|$$ existe et est finie. 5. Étude de la limite : On sait que $\lim_{x \to 0} x^2 \ln|x| = 0$ car $x^2$ tend vers 0 plus vite que $\ln|x|$ tend vers $-\infty$. Donc $f$ est dérivable en 0 et $$f'(0) = 0$$ 6. Continuité de $f'$ en 0 : Calculons $$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} (3x^2 \ln|x| + x^2) = 0 + 0 = 0 = f'(0)$$ 7. Conclusion : La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est continue sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$. **Réponse finale :** $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.