1. **Énoncé du problème :** Comparer les valeurs de la fonction $f$ aux points donnés en utilisant le tableau de variation. 2. **Données importantes :** Le tableau de variation de $f$ sur $[-6;6]$ est : - $f(-6) = -2$ - $f(-4) = 2$ - $f(-3) = 1$ - $f(0) = 4$ - $f(3) = 1$ - $f(4) = 2$ - $f(6) = -1$ 3. **Comparaison de $f(-3,9)$ et $f(-3)$ :** - $-3,9$ est entre $-4$ et $-3$. - Sur $[-4;-3]$, $f$ décroît de $2$ à $1$. - Donc $f(-3,9)$ est entre $1$ et $2$, mais comme $-3,9$ est plus proche de $-4$, $f(-3,9)$ est proche de $2$. - $f(-3) = 1$. - Donc $f(-3,9) > f(-3)$. 4. **Comparaison de $f(1)$ et $f(3,5)$ :** - $1$ est entre $0$ et $3$, sur cet intervalle $f$ décroît de $4$ à $1$. - Donc $f(1)$ est entre $1$ et $4$, proche de $4$. - $3,5$ est entre $3$ et $4$, sur cet intervalle $f$ croît de $1$ à $2$. - Donc $f(3,5)$ est entre $1$ et $2$, proche de $1$. - Donc $f(1) > f(3,5)$. 5. **Comparaison de $f(3,4)$ et $f(3,7)$ :** - $3,4$ est entre $3$ et $4$, $f$ croît de $1$ à $2$. - $3,7$ est entre $3$ et $4$, donc $f(3,7) > f(3,4)$. 6. **Intervalle de variation de $f(x)$ pour $x$ de $-6$ à $4$ :** - $f(-6) = -2$ - $f(-4) = 2$ - $f(-3) = 1$ - $f(0) = 4$ - $f(3) = 1$ - $f(4) = 2$ Le minimum est $-2$ et le maximum est $4$. 7. **Encadrement de $f(x)$ sur $[-6;4]$ :** $$-2 \leq f(x) \leq 4$$ 8. **Nombre d'antécédents de zéro sur $[-6;6]$ :** - $f$ passe de $-2$ à $2$ entre $-6$ et $-4$ donc une racine. - $f$ passe de $2$ à $1$ entre $-4$ et $-3$, pas de passage par zéro. - $f$ passe de $1$ à $4$ entre $-3$ et $0$, pas de passage par zéro. - $f$ passe de $4$ à $1$ entre $0$ et $3$, pas de passage par zéro. - $f$ passe de $1$ à $2$ entre $3$ et $4$, pas de passage par zéro. - $f$ passe de $2$ à $-1$ entre $4$ et $6$, donc une racine. Donc il y a 2 antécédents de zéro. 9. **Réponses aux propositions :** - a) Vrai. Sur $[-4;-3]$, $f$ décroît de $2$ à $1$, donc si $a \leq b$ alors $f(a) \geq f(b)$, donc la proposition est fausse. - b) Faux. Sur $[0;4]$, $f$ décroît de $4$ à $1$ puis croît de $1$ à $2$, donc $f$ n'est pas strictement croissante. - c) Faux. Sur $[-4;4]$, $f$ prend la valeur $1$ mais aussi des valeurs inférieures (par exemple $f(-3) = 1$, $f(3) = 1$), donc pas tous les réels ont une image supérieure ou égale à 1. - d) Faux. $f(-1)$ est entre $f(-3) = 1$ et $f(0) = 4$, donc $f(-1) > 0$. **Réponse finale :** - $f(-3,9) > f(-3)$ - $f(1) > f(3,5)$ - $f(3,7) > f(3,4)$ - $f(x)$ varie entre $-2$ et $4$ sur $[-6;4]$ - Il y a 2 antécédents de zéro sur $[-6;6]$ - Proposition 2a est fausse, 2b est fausse, 2c est fausse, 2d est fausse.