1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty; 2]$ par $f(x) = \sqrt{2 - x}$. 2. **Continuité de $f$ sur $]-\infty; 2]$ :** La fonction racine carrée $\sqrt{u}$ est continue sur $[0, +\infty[$. Ici, $u = 2 - x$ est une fonction affine continue sur $\mathbb{R}$. L'ensemble de définition de $f$ est $\{x \in \mathbb{R} : 2 - x \geq 0\} = ]-\infty; 2]$. Donc, $f$ est la composition de fonctions continues sur $]-\infty; 2]$, donc $f$ est continue sur $]-\infty; 2]$. 3. **Calcul des limites :** - Limite en $-\infty$ : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{2 - x} = +\infty$$ car $2 - x \to +\infty$. - Limite en $2$ par la gauche : $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \sqrt{2 - x} = 0$$ **Interprétation géométrique :** La courbe tend vers l'infini quand $x$ tend vers $-\infty$ et atteint la valeur $0$ en $x=2$. 4. **Dérivabilité à gauche en 2 :** La dérivée de $f$ est donnée par la règle de dérivation de la racine : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \sqrt{2 - x} = \frac{-1}{2\sqrt{2 - x}}$$ Cette dérivée est définie pour $x < 2$. Calcul de la dérivée à gauche en 2 : $$\lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{2\sqrt{2 - x}} = -\infty$$ Donc $f$ est dérivable à gauche en 2, mais la pente de la tangente est infinie (verticale). **Interprétation géométrique :** La tangente en $x=2$ est verticale. 5. **Réponse au reste des questions :** Le reste des questions ne sera pas traité conformément à la consigne d'analyse du premier problème uniquement.