1. **Énoncé du problème :** Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $$f(x) = \frac{|x^2 + x| + 1}{|x| + 1}$$ au points $x=0$ et $x=-1$. 2. **Formule et règles importantes :** - Une fonction est continue en un point si la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction au point sont égales. - La dérivabilité implique la continuité et que les dérivées à gauche et à droite au point soient égales. 3. **Continuité en $x=0$ :** - Calcul de $f(0)$ : $$f(0) = \frac{|0 + 0| + 1}{|0| + 1} = \frac{0 + 1}{0 + 1} = 1$$ - Limite à gauche $x \to 0^-$ : $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{|x^2 + x| + 1}{|x| + 1} = \frac{|0 + 0| + 1}{0 + 1} = 1$$ - Limite à droite $x \to 0^+$ : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$$ - Conclusion : $f$ est continue en $0$ car limites et valeur égales. 4. **Dérivabilité en $x=0$ :** - Pour $x>0$, $|x|=x$ et $|x^2+x|=x^2+x$ car $x^2+x>0$ proche de 0. - Donc $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ pour $x>0$. - Dérivée à droite en 0 : $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h^2 + h + 1}{h + 1} - 1}{h}$$ Simplifions le numérateur : $$\frac{h^2 + h + 1}{h + 1} - 1 = \frac{h^2 + h + 1 - (h + 1)}{h + 1} = \frac{h^2}{h + 1}$$ Donc : $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h^2}{h + 1}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2}{h(h + 1)} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2}{h(h + 1)}$$ On peut annuler un $h$ : $$= \lim_{h \to 0^+} \frac{\cancel{h} h}{\cancel{h} (h + 1)} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h + 1} = 0$$ - Pour $x<0$, $|x| = -x$ et $x^2 + x = x(x+1)$. - Pour $x$ proche de 0 négatif, $x^2 + x < 0$ car $x+1 > 0$ mais $x<0$ donc $x^2 + x < 0$. - Donc $|x^2 + x| = -(x^2 + x) = -x^2 - x$. - Ainsi, pour $x<0$, $$f(x) = \frac{-x^2 - x + 1}{-x + 1}$$ - Dérivée à gauche en 0 : $$f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{-h^2 - h + 1}{-h + 1} - 1}{h}$$ Simplifions le numérateur : $$\frac{-h^2 - h + 1}{-h + 1} - 1 = \frac{-h^2 - h + 1 - (-h + 1)}{-h + 1} = \frac{-h^2 - h + 1 + h - 1}{-h + 1} = \frac{-h^2}{-h + 1}$$ Donc : $$f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{-h^2}{-h + 1}}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h^2}{h(-h + 1)}$$ Annulons un $h$ : $$= \lim_{h \to 0^-} \frac{-\cancel{h} h}{\cancel{h} (-h + 1)} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{-h + 1} = 0$$ - Comme $f'(0^-) = f'(0^+) = 0$, $f$ est dérivable en 0 avec $f'(0) = 0$. 5. **Continuité en $x=-1$ :** - Calcul de $f(-1)$ : $$f(-1) = \frac{|(-1)^2 - 1| + 1}{|-1| + 1} = \frac{|1 - 1| + 1}{1 + 1} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$$ - Limite à gauche $x \to -1^-$ : Pour $x < -1$, $x^2 + x = x(x+1)$ avec $x+1 < 0$ et $x < 0$, donc $x^2 + x > 0$ (produit de deux négatifs). Donc $|x^2 + x| = x^2 + x$. $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 + x + 1}{-x + 1} = \frac{1 - 1 + 1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ - Limite à droite $x \to -1^+$ : Pour $-1 < x < 0$, $x^2 + x < 0$ donc $|x^2 + x| = -x^2 - x$. $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{-x^2 - x + 1}{x + 1}$$ Le dénominateur tend vers 0, il faut étudier la limite de façon plus précise. - Posons $x = -1 + h$ avec $h \to 0^+$ : $$f(-1 + h) = \frac{-( -1 + h)^2 - (-1 + h) + 1}{| -1 + h| + 1} = \frac{-(1 - 2h + h^2) + 1 - h + 1}{1 - h + 1} = \frac{-1 + 2h - h^2 + 1 - h + 1}{2 - h} = \frac{2h - h^2 - h + 1}{2 - h} = \frac{h - h^2 + 1}{2 - h}$$ Pour $h \to 0^+$, le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $2$, donc $$\lim_{h \to 0^+} f(-1 + h) = \frac{1}{2}$$ - Conclusion : $f$ est continue en $-1$. 6. **Dérivabilité en $x=-1$ :** - Dérivée à gauche : $$f'( -1^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h}$$ Pour $h < 0$, $x = -1 + h < -1$, donc $$f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{|x| + 1} = \frac{x^2 + x + 1}{-x + 1}$$ Calculons la dérivée de cette fonction en $x = -1$ : $$f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{-x + 1}$$ Utilisons la dérivée d'un quotient : $$f'(x) = \frac{(2x + 1)(-x + 1) - (x^2 + x + 1)(-1)}{(-x + 1)^2}$$ Évaluons en $x = -1$ : $$f'(-1) = \frac{(2(-1) + 1)(-(-1) + 1) - ((-1)^2 + (-1) + 1)(-1)}{(-(-1) + 1)^2} = \frac{(-2 + 1)(1 + 1) - (1 - 1 + 1)(-1)}{(1 + 1)^2} = \frac{(-1)(2) - (1)(-1)}{4} = \frac{-2 + 1}{4} = \frac{-1}{4}$$ - Dérivée à droite : Pour $x > -1$, $f(x) = \frac{-x^2 - x + 1}{x + 1}$. Dérivons : $$f'(x) = \frac{(-2x - 1)(x + 1) - (-x^2 - x + 1)(1)}{(x + 1)^2}$$ Évaluons en $x = -1$ : $$f'(-1) = \frac{(-2(-1) - 1)(-1 + 1) - (-1 + 1 + 1)(1)}{0}$$ Le dénominateur est nul, donc la dérivée à droite n'existe pas (tendance à l'infini). - Conclusion : $f$ n'est pas dérivable en $x = -1$. **Réponse finale :** - $f$ est continue et dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$. - $f$ est continue mais non dérivable en $-1$.