1. Énoncé du problème : Étudier la continuité de la fonction $f$ définie par $$f(x) = \begin{cases} Ax^2 + \frac{1}{2} & \text{si } -1 < x \leq 0 \\ x^2 - 1 & \text{si } 0 < x < 1 \\ 3x + 2 & \text{si } 1 \leq x \end{cases}$$ au point $a=0$. 2. Rappel de la définition de la continuité en un point $a$ : Une fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si $$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) = \lim_{x \to a^+} f(x).$$ 3. Calcul de $f(0)$ : Puisque $0$ appartient à l'intervalle $-1 < x \leq 0$, on utilise la première branche : $$f(0) = A \cdot 0^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$ 4. Calcul de la limite à gauche en $0$ : Pour $x \to 0^-$, on utilise la première branche : $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(Ax^2 + \frac{1}{2}\right) = A \cdot 0^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$ 5. Calcul de la limite à droite en $0$ : Pour $x \to 0^+$, on utilise la deuxième branche : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 1) = 0^2 - 1 = -1.$$ 6. Conclusion sur la continuité en $0$ : On a $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{2} \neq -1 = \lim_{x \to 0^+} f(x),$$ ce qui signifie que la limite de $f$ en $0$ n'existe pas. Donc, $f$ n'est pas continue en $0$. 7. Type de discontinuité : La limite à gauche et la limite à droite existent mais sont différentes, donc il s'agit d'une discontinuité de saut. --- 8. Énoncé du second problème : Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ définie sur $[a,b]$ avec $a < b$ réels. 9. Théorème de Lagrange (Théorème des accroissements finis) : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$, alors il existe $c \in (a,b)$ tel que $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$ 10. Vérification des conditions pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ : - $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[a,b]$. - $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc dérivable sur $(a,b)$. 11. Conclusion : Les conditions du théorème de Lagrange sont satisfaites pour $f$ sur $[a,b]$. Il existe donc $c \in (a,b)$ tel que $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$