1. **Énoncé du problème :** Déterminer la valeur de $c$ telle que la fonction $f$ définie par $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3 & \text{si } x \leq c \\ 10x - 28 & \text{si } x > c \end{cases}$$ soit continue sur $\mathbb{R}$. 2. **Rappel de la continuité en un point :** Pour que $f$ soit continue en $x=c$, il faut que $$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c).$$ 3. **Calcul des limites à gauche et à droite en $x=c$ :** - Limite à gauche : $$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^-} (x^2 - 3) = c^2 - 3.$$ - Limite à droite : $$\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^+} (10x - 28) = 10c - 28.$$ 4. **Condition de continuité :** $$c^2 - 3 = 10c - 28.$$ 5. **Résolution de l'équation :** $$c^2 - 3 = 10c - 28$$ $$c^2 - 10c + 25 = 0$$ $$\cancel{c^2} - 10c + \cancel{25} = 0$$ Cette équation est un trinôme du second degré. On remarque que $$c^2 - 10c + 25 = (c - 5)^2 = 0.$$ 6. **Solution :** $$c - 5 = 0 \implies c = 5.$$ 7. **Conclusion :** La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $c = 5$.