1. **Énoncé du problème** : Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{|x^2 + x| + 1}{|x| + 1}$$ en $x=0$ et $x=-1$. 2. **Formule et règles importantes** : - La continuité en un point $a$ signifie que $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$. - La dérivabilité en $a$ implique que la dérivée $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ existe. - La fonction valeur absolue $|u|$ est continue partout mais peut ne pas être dérivable en $u=0$. 3. **Étude en $x=0$** : - Calcul de $f(0)$ : $$f(0) = \frac{|0 + 0| + 1}{|0| + 1} = \frac{0 + 1}{0 + 1} = 1$$. - Limite à gauche $x \to 0^-$ : $$f(x) = \frac{|x^2 + x| + 1}{|x| + 1} = \frac{|x(x+1)| + 1}{-x + 1}$$ Pour $x$ proche de 0 négatif, $x+1 > 0$, donc $x(x+1) < 0$, donc $|x^2 + x| = -(x^2 + x) = -x^2 - x$. Donc $$f(x) = \frac{-x^2 - x + 1}{-x + 1}$$. - Limite à droite $x \to 0^+$ : Pour $x$ proche de 0 positif, $x+1 > 0$, $x > 0$, donc $x(x+1) > 0$, donc $|x^2 + x| = x^2 + x$. Donc $$f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$$. - Calcul des limites : $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x^2 - x + 1}{-x + 1} = \frac{0 - 0 + 1}{0 + 1} = 1$$ $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{0 + 0 + 1}{0 + 1} = 1$$ - Comme les limites à gauche et à droite sont égales à $f(0)$, $f$ est continue en 0. 4. **Dérivabilité en $x=0$** : - Calcul de la dérivée à gauche : $$f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{-h^2 - h + 1}{-h + 1} - 1}{h}$$ Simplifions le numérateur : $$\frac{-h^2 - h + 1}{-h + 1} - 1 = \frac{-h^2 - h + 1 - (-h + 1)}{-h + 1} = \frac{-h^2 - h + 1 + h - 1}{-h + 1} = \frac{-h^2}{-h + 1}$$ Donc $$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{-h^2}{h(-h + 1)} = \frac{-h^2}{h(-h + 1)} = \frac{-h}{-h + 1}$$ En annulant $h$ (avec \cancel{h} notation), $$\lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{-h + 1} = 0$$ - Calcul de la dérivée à droite : $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h^2 + h + 1}{h + 1} - 1}{h}$$ Numérateur : $$\frac{h^2 + h + 1}{h + 1} - 1 = \frac{h^2 + h + 1 - (h + 1)}{h + 1} = \frac{h^2}{h + 1}$$ Donc $$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{h^2}{h(h + 1)} = \frac{h}{h + 1}$$ Limite : $$\lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h + 1} = 0$$ - Les dérivées à gauche et à droite sont égales, donc $f$ est dérivable en 0 avec $f'(0) = 0$. 5. **Étude en $x = -1$** : - Calcul de $f(-1)$ : $$f(-1) = \frac{|(-1)^2 - 1| + 1}{|-1| + 1} = \frac{|1 - 1| + 1}{1 + 1} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$$ - Pour $x$ proche de $-1$, étudions le signe de $x^2 + x$ : $$x^2 + x = x(x+1)$$ Pour $x < -1$, $x+1 < 0$ et $x < 0$, donc $x(x+1) > 0$. Pour $x > -1$, $x+1 > 0$, $x < 0$ ou $x > 0$ selon la valeur, mais proche de $-1$, $x(x+1) < 0$. - Limite à gauche $x \to -1^-$ : $$f(x) = \frac{|x^2 + x| + 1}{|x| + 1} = \frac{x^2 + x + 1}{-x + 1}$$ car $x^2 + x > 0$. - Limite à droite $x \to -1^+$ : $$f(x) = \frac{-(x^2 + x) + 1}{x + 1}$$ car $x^2 + x < 0$. - Calcul des limites : $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{(-1)^2 - 1 + 1}{-(-1) + 1} = \frac{1 - 1 + 1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{-(x^2 + x) + 1}{x + 1}$$ Le dénominateur tend vers 0, le numérateur vers $-(1 - 1) + 1 = 1$. Donc la limite à droite diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe. - Conclusion : $f$ n'est pas continue en $x = -1$ donc pas dérivable. 6. **Résumé** : - $f$ est continue et dérivable en $x=0$ avec $f(0) = 1$ et $f'(0) = 0$. - $f$ n'est pas continue ni dérivable en $x = -1$.