1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $f$ définie sur $I = [0,1]$ par $$f(x) = x(1 - \ln x) \quad \text{pour } x > 0 \quad \text{et} \quad f(0) = 0$$ est continue et dérivable en 0. 2. **Formule et règles importantes :** - La continuité en 0 signifie que $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. - La dérivabilité en 0 signifie que la limite $$\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$$ existe. - Rappel : $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$. 3. **Calcul de la limite pour la continuité :** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x(1 - \ln x) = \lim_{x \to 0^+} x - x \ln x = 0 - 0 = 0$$ Donc $f$ est continue en 0 car $f(0) = 0$. 4. **Calcul de la dérivée en 0 :** $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(1 - \ln h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} (1 - \ln h)$$ Or $\lim_{h \to 0^+} \ln h = -\infty$, donc $$\lim_{h \to 0^+} (1 - \ln h) = +\infty$$ La limite n'existe pas finie, donc la dérivée à droite en 0 n'existe pas. 5. **Dérivabilité en 0 :** La fonction n'est pas dérivable en 0 car la dérivée à droite n'existe pas finie. 6. **Interprétation géométrique :** La pente de la tangente à la courbe en 0 est infinie, ce qui signifie que la courbe a une tangente verticale en 0. **Réponse finale :** - $f$ est continue en 0. - $f$ n'est pas dérivable en 0 car la dérivée à droite est infinie. - La courbe a une tangente verticale en 0.