1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $g$ définie par $$g(x) = \begin{cases} \frac{\ln(x)}{\ln(x) - x} & x > 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$$ est continue en 0. 2. **Formule et règles importantes :** Pour montrer la continuité en un point, il faut vérifier que $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0).$$ 3. **Calcul de la limite à droite en 0 :** Calculons $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\ln(x) - x}.$$ Quand $x \to 0^+$, $\ln(x) \to -\infty$ et $x \to 0$, donc $$\ln(x) - x \sim \ln(x) \to -\infty.$$ Ainsi, $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\ln(x) - x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\ln(x)(1 - \frac{x}{\ln(x)})} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1 - \frac{x}{\ln(x)}}.$$ Or, $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\ln(x)} = 0,$$ car $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ plus vite que $x$ vers 0. Donc, $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = \frac{1}{1 - 0} = 1.$$ 4. **Conclusion :** On a $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = 1 = g(0),$$ ce qui montre que $g$ est continue en 0.