1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $h$ définie par $$h(x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1} \text{ si } x \neq 1 \quad \text{et} \quad h(1) = \frac{1}{3}$$ est continue en $x=1$. 2. **Rappel de la définition de la continuité en un point :** Une fonction $h$ est continue en $x=1$ si $$\lim_{x \to 1} h(x) = h(1).$$ 3. **Calcul de la limite à gauche et à droite de $1$ :** On calcule $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1}.$$ Cette limite est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$, donc on peut utiliser la règle de l'Hôpital ou factoriser. 4. **Utilisation de la factorisation de la différence de cubes :** Rappel : $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Ici, posons $a = \sqrt[3]{x}$ et $b=1$, alors $$x - 1 = (\sqrt[3]{x})^3 - 1^3 = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \times 1 + 1^2 ).$$ 5. **Simplification de la fraction :** $$\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{(\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} + 1 )} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} + 1}.$$ On peut écrire cette simplification avec un trait de suppression : $$\frac{\cancel{\sqrt[3]{x} - 1}}{\cancel{\sqrt[3]{x} - 1} \times ((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} + 1)} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} + 1}.$$ 6. **Calcul de la limite :** En faisant tendre $x$ vers $1$, on a $\sqrt[3]{1} = 1$, donc $$\lim_{x \to 1} h(x) = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} + 1} = \frac{1}{1^2 + 1 + 1} = \frac{1}{3}.$$ 7. **Conclusion :** On a $$\lim_{x \to 1} h(x) = \frac{1}{3} = h(1),$$ ce qui montre que $h$ est continue en $x=1$. **Réponse finale :** $$\boxed{\text{La fonction } h \text{ est continue en } x=1.}$$