1. **Énoncé du problème :** On a une courbe $C$ avec des points $B(2;1)$, $C(1;\frac{2}{3})$, $D(-\sqrt{3})$ appartenant à $C$. La tangente en $B$ passe par $A(3; -\frac{4}{3})$. La tangente en $D$ a pour équation $y=2x+3,46$. La tangente en $C$ est horizontale. 2. **Déterminer $f(2)$, $f(1)$, $f(2)$ et $f(-\sqrt{3})$ :** - Puisque $B(2;1)$ est sur $C$, alors $f(2)=1$. - Puisque $C(1;\frac{2}{3})$ est sur $C$, alors $f(1)=\frac{2}{3}$. - $f(2)$ est déjà donné, c'est $1$. - $D(-\sqrt{3}; y_D)$ est sur $C$, donc $f(-\sqrt{3})=y_D$ (à déterminer). 3. **Déterminer $f(-\sqrt{3})$ :** La tangente en $D$ est $y=2x+3,46$. Comme $D$ est sur la courbe et sur la tangente, on a : $$f(-\sqrt{3})=2(-\sqrt{3})+3,46= -2\sqrt{3}+3,46$$ 4. **Déterminer analytiquement les coordonnées du point $I$ (point d'intersection de la tangente en $B$ avec la droite passant par $A$) :** - La tangente en $B$ passe par $B(2;1)$ et $A(3; -\frac{4}{3})$. - Calcul de la pente $m$ : $$m=\frac{-\frac{4}{3}-1}{3-2}=\frac{-\frac{4}{3}-\frac{3}{3}}{1}=\frac{-\frac{7}{3}}{1}=-\frac{7}{3}$$ - Équation de la tangente en $B$ : $$y - 1 = -\frac{7}{3}(x - 2)$$ $$y = -\frac{7}{3}x + \frac{14}{3} + 1 = -\frac{7}{3}x + \frac{17}{3}$$ - Le point $I$ est l'intersection de cette tangente avec la courbe $C$ au point $D$ ou autre point selon contexte (non précisé), donc on suppose $I$ est $D$ ou on cherche $I$ sur la tangente. 5. **La courbe admet une tangente horizontale en $C(1; \frac{2}{3})$ :** - La dérivée $f'(1)=0$ car tangente horizontale. 6. **Résumé :** - $f(2)=1$ - $f(1)=\frac{2}{3}$ - $f(-\sqrt{3}) = -2\sqrt{3} + 3,46$ - Équation tangente en $B$ : $y = -\frac{7}{3}x + \frac{17}{3}$ - $f'(1)=0$