1. Énonçons le problème : Montrer que si deux suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont positives et croissantes, alors les suites $(U_n + V_n)$ et $(U_n V_n)$ sont aussi croissantes. 2. Rappelons les définitions importantes : - Une suite $(a_n)$ est croissante si $a_{n+1} \geq a_n$ pour tout $n$. - Les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont données comme positives, donc $U_n > 0$ et $V_n > 0$ pour tout $n$. 3. Montrons que $(U_n + V_n)$ est croissante : On calcule la différence : $$ (U_{n+1} + V_{n+1}) - (U_n + V_n) = (U_{n+1} - U_n) + (V_{n+1} - V_n) $$ Puisque $(U_n)$ et $(V_n)$ sont croissantes, on a $U_{n+1} - U_n \geq 0$ et $V_{n+1} - V_n \geq 0$. Donc, $$ (U_{n+1} + V_{n+1}) - (U_n + V_n) \geq 0 $$ Ce qui montre que $(U_n + V_n)$ est croissante. 4. Montrons que $(U_n V_n)$ est croissante : Calculons la différence : $$ U_{n+1} V_{n+1} - U_n V_n = U_{n+1} V_{n+1} - U_n V_{n+1} + U_n V_{n+1} - U_n V_n $$ Factorisons : $$ = V_{n+1} (U_{n+1} - U_n) + U_n (V_{n+1} - V_n) $$ Puisque $U_n, V_n > 0$ et les suites sont croissantes, on a $U_{n+1} - U_n \geq 0$ et $V_{n+1} - V_n \geq 0$. Donc, $$ V_{n+1} (U_{n+1} - U_n) + U_n (V_{n+1} - V_n) \geq 0 $$ Ce qui montre que $(U_n V_n)$ est croissante. 5. Conclusion : Si $(U_n)$ et $(V_n)$ sont des suites positives et croissantes, alors les suites $(U_n + V_n)$ et $(U_n V_n)$ sont aussi croissantes.