1. Le problème est d'étudier la dérivabilité d'une fonction donnée. 2. La dérivabilité d'une fonction en un point signifie que la fonction possède une dérivée finie en ce point. 3. La dérivée d'une fonction $f$ en un point $a$ est définie par la limite $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ si cette limite existe. 4. Pour étudier la dérivabilité, on calcule cette limite à gauche et à droite du point $a$. 5. Si les deux limites sont égales et finies, la fonction est dérivable en $a$. 6. Sinon, la fonction n'est pas dérivable en ce point. 7. En général, une fonction continue n'est pas forcément dérivable. 8. Exemple : la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue partout mais non dérivable en $x=0$ car les limites de la dérivée à gauche et à droite ne coïncident pas. 9. Pour une fonction polynomiale, la dérivabilité est assurée partout. 10. Pour une fonction définie par morceaux, il faut vérifier la continuité et la limite des taux d'accroissement à chaque point de jonction. 11. En résumé, la dérivabilité se vérifie par le calcul de la limite du taux d'accroissement et la continuité de la fonction au point considéré.