1. **Énoncé du problème :** Étudier la dérivabilité en $0$ des fonctions $f(x) = |x^3|$, $g(x) = x|x|$, et $h(x) = \sqrt{|x|}$. 2. **Rappel des définitions :** Une fonction $F$ est dérivable en $0$ si la limite du taux d'accroissement existe, c'est-à-dire si $$\lim_{x \to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x - 0}$$ existe et est finie. 3. **Étude de $f(x) = |x^3|$ :** - On a $f(x) = |x|^3$ car $|x^3| = |x|^3$. - Calcul de la limite du taux d'accroissement : $$\lim_{x \to 0} \frac{|x|^3 - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{|x|^3}{x} = \lim_{x \to 0} |x|^2 \cdot \frac{|x|}{x}.$$ - Pour $x > 0$, $\frac{|x|}{x} = 1$, donc la limite à droite est $\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$. - Pour $x < 0$, $\frac{|x|}{x} = -1$, donc la limite à gauche est $\lim_{x \to 0^-} -x^2 = 0$. - Les deux limites latérales sont égales à $0$, donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$. 4. **Étude de $g(x) = x|x|$ :** - Pour $x \geq 0$, $g(x) = x \cdot x = x^2$. - Pour $x < 0$, $g(x) = x \cdot (-x) = -x^2$. - Calcul de la limite du taux d'accroissement : $$\lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}.$$ - Pour $x > 0$, $\frac{g(x)}{x} = \frac{x^2}{x} = x \to 0$. - Pour $x < 0$, $\frac{g(x)}{x} = \frac{-x^2}{x} = -x \to 0$. - Les deux limites latérales sont égales à $0$, donc $g$ est dérivable en $0$ avec $g'(0) = 0$. 5. **Étude de $h(x) = \sqrt{|x|}$ :** - Calcul de la limite du taux d'accroissement : $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{|x|} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{|x|}}{x}.$$ - Pour $x > 0$, $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{x^{1/2}}{x} = x^{-1/2} \to +\infty$. - Pour $x < 0$, $\frac{\sqrt{-x}}{x} = \frac{\sqrt{-x}}{x} = -\frac{\sqrt{-x}}{-x} = -(-x)^{-1/2} \to -\infty$. - Les limites latérales ne sont pas égales ni finies, donc $h$ n'est pas dérivable en $0$. **Réponse finale :** - $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$. - $g$ est dérivable en $0$ avec $g'(0) = 0$. - $h$ n'est pas dérivable en $0$.