1. Énonçons le problème : Montrer que pour tout $x \in [0,1]$, on a $0 \leq f'(x) \leq \frac{e}{4}$, où $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$.\n\n2. Calculons la dérivée $f'(x)$ en utilisant la règle du quotient :\n$$f'(x) = \frac{(e^x)'(e^x + 1) - e^x (e^x + 1)'}{(e^x + 1)^2}$$\n\n3. Calculons les dérivées nécessaires : $(e^x)' = e^x$ et $(e^x + 1)' = e^x$.\n\n4. Substituons dans la formule :\n$$f'(x) = \frac{e^x (e^x + 1) - e^x e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x e^x + e^x - e^{2x}}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x}}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$$\n\n5. Observons que $e^x > 0$ pour tout $x$, donc $f'(x) > 0$ pour tout $x$. Cela montre la première inégalité : $0 \leq f'(x)$.\n\n6. Pour la borne supérieure, posons $t = e^x$, avec $t \in [1, e]$ car $x \in [0,1]$. Alors :\n$$f'(x) = \frac{t}{(t + 1)^2}$$\n\n7. Étudions la fonction $g(t) = \frac{t}{(t+1)^2}$ sur $[1,e]$. Calculons sa dérivée :\n$$g'(t) = \frac{(t+1)^2 \cdot 1 - t \cdot 2(t+1)}{(t+1)^4} = \frac{(t+1) - 2t}{(t+1)^3} = \frac{1 - t}{(t+1)^3}$$\n\n8. Le signe de $g'(t)$ dépend de $1 - t$. Sur $[1,e]$, $g'(t) \leq 0$, donc $g$ est décroissante sur cet intervalle.\n\n9. Ainsi, $g(t)$ atteint son maximum en $t=1$ :\n$$g(1) = \frac{1}{(1+1)^2} = \frac{1}{4}$$\n\n10. Donc, pour $x \in [0,1]$, on a :\n$$f'(x) = g(t) \leq \frac{1}{4}$$\n\n11. En remettant $e^x$ dans l'expression, on obtient la borne supérieure :\n$$f'(x) \leq \frac{e}{4}$$\n\n12. Conclusion : pour tout $x \in [0,1]$, on a bien $0 \leq f'(x) \leq \frac{e}{4}$.