1. Énonçons le problème : Trouver la dérivée de la fonction $f(x) = 3x^2 - x + 1$ en utilisant la définition de la dérivée en $a=1$. 2. Rappel de la définition de la dérivée en un point $a$ : $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Cette définition exprime la pente de la tangente à la courbe en $x=a$. 3. Calculons $f(1)$ : $$f(1) = 3(1)^2 - 1 + 1 = 3 - 1 + 1 = 3$$ 4. Calculons $f(1+h)$ : $$f(1+h) = 3(1+h)^2 - (1+h) + 1 = 3(1 + 2h + h^2) - 1 - h + 1 = 3 + 6h + 3h^2 - 1 - h + 1$$ Simplifions : $$= (3 - 1 + 1) + (6h - h) + 3h^2 = 3 + 5h + 3h^2$$ 5. Calculons la différence quotient : $$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{3 + 5h + 3h^2 - 3}{h} = \frac{5h + 3h^2}{h}$$ 6. Simplifions en annulant $h$ commun : $$\frac{\cancel{h}(5 + 3h)}{\cancel{h}} = 5 + 3h$$ 7. Calculons la limite quand $h$ tend vers 0 : $$f'(1) = \lim_{h \to 0} (5 + 3h) = 5 + 0 = 5$$ 8. Conclusion : La dérivée de $f$ en $x=1$ est $f'(1) = 5$. Cela signifie que la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point $x=1$ est égale à 5.