1. **Énoncé de la question 6 :** Calculer la dérivée à droite en 0 de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$ pour $x>0$ et $f(0)=0$. 2. **Définition de la dérivée à droite en 0 :** La dérivée à droite en 0 est donnée par $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h}$$ car $f(0) = 0$. 3. **Étude du comportement de $f(h)$ quand $h \to 0^+$ :** On sait que $\ln h \to -\infty$ quand $h \to 0^+$. Donc, $$f(h) = \frac{\ln h - 1}{(\ln h)^2} = \frac{u - 1}{u^2} \quad \text{avec } u = \ln h \to -\infty.$$ 4. **Simplification de $f(h)$ pour $h$ proche de 0 :** Quand $u \to -\infty$, on a $$f(h) = \frac{u - 1}{u^2} = \frac{u}{u^2} - \frac{1}{u^2} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u^2}.$$ Comme $u \to -\infty$, $\frac{1}{u} \to 0$ et $\frac{1}{u^2} \to 0$, donc $$f(h) \sim \frac{1}{u} = \frac{1}{\ln h}.$$ 5. **Calcul de la limite $f'(0^+)$ :** On remplace dans la limite $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h} \sim \lim_{h \to 0^+} \frac{1/\ln h}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{h \ln h}.$$ 6. **Étude de la limite $\lim_{h \to 0^+} \frac{1}{h \ln h}$ :** On sait que $\ln h$ est négatif et tend vers $-\infty$ quand $h \to 0^+$, donc $h \ln h \to 0^-$. Ainsi, $$\frac{1}{h \ln h} \to 0^-,$$ ce qui signifie que $$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h} = 0.$$ 7. **Conclusion :** La dérivée à droite en 0 existe et vaut $$f'(0^+) = 0.$$ Cela signifie que la tangente à la courbe en $x=0$ est horizontale.