1. **Énoncé du problème** : Trouver la dérivée de la fonction $$f(x) = \frac{(5x - 4)^2}{2x^2 + 9}$$ et l'exprimer sous une forme factorisée maximale. 2. **Formule utilisée** : Pour une fonction quotient $$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$$, la dérivée est donnée par la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$$ 3. **Calcul des dérivées partielles** : - $$u(x) = (5x - 4)^2$$ donc $$u'(x) = 2(5x - 4) \times 5 = 10(5x - 4)$$ - $$v(x) = 2x^2 + 9$$ donc $$v'(x) = 4x$$ 4. **Application de la règle du quotient** : $$f'(x) = \frac{10(5x - 4)(2x^2 + 9) - (5x - 4)^2 \times 4x}{(2x^2 + 9)^2}$$ 5. **Développement et simplification du numérateur** : $$= \frac{10(5x - 4)(2x^2 + 9) - 4x(5x - 4)^2}{(2x^2 + 9)^2}$$ 6. **Factorisation du numérateur** : On met en facteur $$(5x - 4)$$ : $$= \frac{(5x - 4)\left[10(2x^2 + 9) - 4x(5x - 4)\right]}{(2x^2 + 9)^2}$$ 7. **Simplification à l'intérieur des crochets** : $$10(2x^2 + 9) - 4x(5x - 4) = 20x^2 + 90 - 20x^2 + 16x = 16x + 90$$ 8. **Forme factorisée finale** : $$\boxed{f'(x) = \frac{(5x - 4)(16x + 90)}{(2x^2 + 9)^2}}$$ Cette expression est la dérivée factorisée au maximum de la fonction $f$ sur son domaine $\mathbb{R}$.