1. **Énoncé du problème :** Calculer la dérivée de la fonction $$f(x) = \frac{x^2}{-9} + \frac{1}{x^5}$$ et l'écrire sous une forme factorisée maximale. 2. **Formule utilisée :** La dérivée de $$x^n$$ est $$nx^{n-1}$$. 3. **Calcul de la dérivée :** $$f(x) = -\frac{1}{9}x^2 + x^{-5}$$ Dérivons terme par terme : $$f'(x) = -\frac{1}{9} \times 2x^{2-1} + (-5)x^{-5-1}$$ Ce qui donne : $$f'(x) = -\frac{2}{9}x^{1} - 5x^{-6}$$ 4. **Mise en forme factorisée :** On peut factoriser par $$x^{-6}$$ (le plus petit exposant) : $$f'(x) = x^{-6} \left(-\frac{2}{9}x^{1+6} - 5\right) = x^{-6} \left(-\frac{2}{9}x^{7} - 5\right)$$ 5. **Réécriture finale :** $$f'(x) = \frac{-\frac{2}{9}x^{7} - 5}{x^{6}} = -\frac{2}{9} \frac{x^{7}}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$$ Mais la forme factorisée maximale est : $$f'(x) = x^{-6} \left(-\frac{2}{9}x^{7} - 5\right)$$ **Réponse finale :** $$\boxed{f'(x) = x^{-6} \left(-\frac{2}{9}x^{7} - 5\right)}$$