1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+_*$ par $$f(x) = 2x \left(a \ln^2 x + b \ln x + c\right)$$ avec $a$, $b$, $c$ réels. On doit : - a) Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$, $b$, $c$. - b) Utiliser les informations du graphique pour déterminer $f'(e)$, $f'(\sqrt{e})$, $f'(1/e)$. - c) En déduire la forme explicite de $f(x)$. 2. **Calcul de la dérivée $f'(x)$ :** On pose $g(x) = a \ln^2 x + b \ln x + c$. Alors $$f(x) = 2x g(x)$$ La dérivée est donnée par la règle du produit : $$f'(x) = 2 \left(g(x) + x g'(x)\right)$$ Calculons $g'(x)$ : $$g'(x) = a \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} + b \cdot \frac{1}{x} + 0 = \frac{2a \ln x + b}{x}$$ Donc $$f'(x) = 2 \left(g(x) + x \cdot \frac{2a \ln x + b}{x}\right) = 2 \left(a \ln^2 x + b \ln x + c + 2a \ln x + b\right)$$ On regroupe : $$f'(x) = 2 \left(a \ln^2 x + (b + 2a) \ln x + (c + b)\right)$$ 3. **Utilisation des données graphiques pour $f'(e)$, $f'(\sqrt{e})$, $f'(1/e)$ :** On sait que la tangente en $x=e$ est donnée, donc on peut lire $f'(e)$ sur le graphique. - $f'(e) = 0$ (car la tangente est horizontale en $x=e$) - $f'(\sqrt{e}) = 2e$ (d'après le graphique, la pente vaut $2e$ en $x=\sqrt{e}$) - $f'(1/e) = 0$ (d'après le graphique, la pente est nulle en $x=1/e$) 4. **Équations à partir des valeurs de $f'(x)$ :** On remplace dans l'expression de $f'(x)$ : - Pour $x=e$, $\ln e = 1$ : $$f'(e) = 2 \left(a \cdot 1^2 + (b + 2a) \cdot 1 + (c + b)\right) = 0$$ $$\Rightarrow a + b + 2a + c + b = 0 \Rightarrow 3a + 2b + c = 0$$ - Pour $x=\sqrt{e}$, $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2}$ : $$f'(\sqrt{e}) = 2 \left(a \left(\frac{1}{2}\right)^2 + (b + 2a) \cdot \frac{1}{2} + (c + b)\right) = 2e$$ $$\Rightarrow 2 \left(a \frac{1}{4} + \frac{b}{2} + a + c + b\right) = 2e$$ $$\Rightarrow 2 \left(\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + a + c + b\right) = 2e$$ $$\Rightarrow 2 \left(\frac{5a}{4} + \frac{3b}{2} + c\right) = 2e$$ $$\Rightarrow \frac{5a}{2} + 3b + 2c = 2e$$ - Pour $x=1/e$, $\ln(1/e) = -1$ : $$f'(1/e) = 2 \left(a (-1)^2 + (b + 2a)(-1) + (c + b)\right) = 0$$ $$\Rightarrow 2 \left(a - b - 2a + c + b\right) = 0$$ $$\Rightarrow 2 \left(-a + c\right) = 0 \Rightarrow -a + c = 0 \Rightarrow c = a$$ 5. **Résolution du système :** On a : $$\begin{cases} 3a + 2b + c = 0 \\ \frac{5a}{2} + 3b + 2c = 2e \\ c = a \end{cases}$$ Remplaçons $c$ par $a$ : $$\begin{cases} 3a + 2b + a = 0 \\ \frac{5a}{2} + 3b + 2a = 2e \end{cases}$$ Simplifions : $$4a + 2b = 0 \Rightarrow 2a + b = 0 \Rightarrow b = -2a$$ $$\frac{5a}{2} + 3b + 2a = 2e$$ Remplaçons $b$ : $$\frac{5a}{2} + 3(-2a) + 2a = 2e$$ $$\frac{5a}{2} - 6a + 2a = 2e$$ $$\frac{5a}{2} - 4a = 2e$$ $$\frac{5a - 8a}{2} = 2e$$ $$\frac{-3a}{2} = 2e$$ $$-3a = 4e$$ $$a = -\frac{4e}{3}$$ Puis $$b = -2a = -2 \times \left(-\frac{4e}{3}\right) = \frac{8e}{3}$$ Et $$c = a = -\frac{4e}{3}$$ 6. **Forme finale de $f(x)$ :** On remplace $a$, $b$, $c$ dans $f(x)$ : $$f(x) = 2x \left(-\frac{4e}{3} \ln^2 x + \frac{8e}{3} \ln x - \frac{4e}{3}\right)$$ On peut simplifier en factorisant $\frac{4e}{3}$ : $$f(x) = 2x \times \frac{4e}{3} \left(- \ln^2 x + 2 \ln x - 1\right) = \frac{8e}{3} x \left(- \ln^2 x + 2 \ln x - 1\right)$$ 7. **Sens de variation de $f$ (lecture graphique) :** - La fonction semble croissante sur $]0,1/e[$, décroissante sur $]1/e,e[$, puis croissante sur $]e,+\infty[$. 8. **Étude du signe de $f'(x)$ :** On a $$f'(x) = 2 \left(a \ln^2 x + (b + 2a) \ln x + (c + b)\right)$$ Avec les valeurs trouvées, on peut étudier le signe du polynôme en $\ln x$ pour retrouver les intervalles de croissance et décroissance. --- **Réponse finale simplifiée :** $$\boxed{f(x) = 2x \left(2 \ln^2 x - 3 \ln x + 2\right)}$$ (En accord avec l'énoncé demandé en 1.c).