1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 2x + 1$. Le taux de variation de $f$ au point d'abscisse 2 est donné par $$t(h) = \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$$ 2. **Calcul de $t(h)$ :** Calculons $f(2+h)$ : $$f(2+h) = (2+h)^2 - 2(2+h) + 1 = 4 + 4h + h^2 - 4 - 2h + 1 = h^2 + 2h + 1$$ Calculons $f(2)$ : $$f(2) = 2^2 - 2 \times 2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$$ Donc, $$t(h) = \frac{h^2 + 2h + 1 - 1}{h} = \frac{h^2 + 2h}{h}$$ On peut simplifier en annulant $h$ (avec $h \neq 0$) : $$t(h) = \frac{\cancel{h} (h + 2)}{\cancel{h}} = h + 2$$ 3. **Correction de la question a) :** La question demande de montrer que $t(h) = h + 0$, mais le calcul montre que $$t(h) = h + 2$$ Donc la formule donnée dans l'énoncé semble incorrecte. La bonne expression est $$t(h) = h + 2$$ 4. **Calcul du nombre dérivé en $x_0 = 2$ (question b)) :** Le nombre dérivé est la limite de $t(h)$ quand $h \to 0$ : $$f'(2) = \lim_{h \to 0} t(h) = \lim_{h \to 0} (h + 2) = 2$$ 5. **Équation de la tangente en $x=2$ (question c)) :** La tangente en $x=2$ a pour équation : $$y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 2(x - 2) + 1 = 2x - 4 + 1 = 2x - 3$$ **Réponses finales :** - a) $t(h) = h + 2$ - b) $f'(2) = 2$ - c) Équation de la tangente : $y = 2x - 3$