1. Énonçons le problème : Montrer que la fonction $f(x) = x - x \ln(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$. 2. Rappelons la définition de la dérivabilité : Une fonction est dérivable en un point si sa dérivée existe en ce point. 3. La fonction $f$ est composée de deux termes : $x$ et $x \ln(x)$. Nous allons dériver chaque terme séparément. 4. La dérivée de $x$ par rapport à $x$ est 1. 5. Pour dériver $x \ln(x)$, utilisons la règle du produit : $$\frac{d}{dx}[x \ln(x)] = \frac{d}{dx}[x] \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{d}{dx}[\ln(x)]$$ 6. Calculons chaque dérivée : - $\frac{d}{dx}[x] = 1$ - $\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$ 7. Substituons ces résultats : $$\frac{d}{dx}[x \ln(x)] = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$$ 8. La dérivée de $f$ est donc : $$f'(x) = 1 - (\ln(x) + 1) = 1 - \ln(x) - 1 = -\ln(x)$$ 9. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ car $\ln(x)$ est dérivable sur cet intervalle. 10. Conclusion : La dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$ est $$f'(x) = -\ln(x)$$ Ce qui montre que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.