1. **Énoncé du problème :** Déterminer la dérivée de la fonction $$f(t) = 0,003t^3 - 0,12t^2 + 1,2t + 2,1$$ définie sur l'intervalle $$[0;20]$$. 2. **Formule utilisée :** La dérivée d'une fonction polynomiale est obtenue en appliquant la règle de dérivation terme à terme : $$\frac{d}{dt}(at^n) = a n t^{n-1}$$ 3. **Calcul de la dérivée :** - Dérivée de $$0,003t^3$$ : $$0,003 \times 3 t^{3-1} = 0,009 t^2$$ - Dérivée de $$-0,12t^2$$ : $$-0,12 \times 2 t^{2-1} = -0,24 t$$ - Dérivée de $$1,2t$$ : $$1,2$$ - Dérivée de la constante $$2,1$$ : $$0$$ Donc, $$ f'(t) = 0,009 t^2 - 0,24 t + 1,2 $$ 4. **Tableau de signes de $$f'(t)$$ sur $$[0;20]$$ :** - Trouvons les racines de $$f'(t)$$ : $$ 0,009 t^2 - 0,24 t + 1,2 = 0 $$ Divisons par 0,009 pour simplifier : $$ t^2 - \frac{0,24}{0,009} t + \frac{1,2}{0,009} = 0 $$ $$ t^2 - 26,6667 t + 133,3333 = 0 $$ Calcul du discriminant : $$ \Delta = (-26,6667)^2 - 4 \times 1 \times 133,3333 = 711,111 - 533,333 = 177,778 $$ Racines : $$ t = \frac{26,6667 \pm \sqrt{177,778}}{2} $$ $$ \sqrt{177,778} \approx 13,333 $$ Donc : $$ t_1 = \frac{26,6667 - 13,333}{2} = \frac{13,3337}{2} = 6,66685 $$ $$ t_2 = \frac{26,6667 + 13,333}{2} = \frac{40}{2} = 20 $$ 5. **Signe de $$f'(t)$$ sur $$[0;20]$$ :** - Pour $$t < 6,66685$$, prenons $$t=0$$ : $$f'(0) = 1,2 > 0$$ donc $$f' > 0$$ sur $$[0,6,66685[$ - Entre $$6,66685$$ et $$20$$, prenons $$t=10$$ : $$f'(10) = 0,009 \times 100 - 0,24 \times 10 + 1,2 = 0,9 - 2,4 + 1,2 = -0,3 < 0$$ donc $$f' < 0$$ sur $$]6,66685,20[$ - En $$t=20$$, $$f'(20) = 0$$ 6. **Tableau de variations de $$f$$ :** - $$f$$ est croissante sur $$[0,6,66685]$$ - $$f$$ est décroissante sur $$[6,66685,20]$$ 7. **Calcul du nombre maximal de pucerons :** Le maximum local est atteint en $$t = 6,66685$$. Calculons $$f(6,66685)$$ : $$ f(6,66685) = 0,003 \times (6,66685)^3 - 0,12 \times (6,66685)^2 + 1,2 \times 6,66685 + 2,1 $$ Calcul intermédiaire : $$ (6,66685)^3 \approx 296,3 $$ $$ (6,66685)^2 \approx 44,44 $$ Donc : $$ f(6,66685) \approx 0,003 \times 296,3 - 0,12 \times 44,44 + 1,2 \times 6,66685 + 2,1 $$ $$ = 0,889 - 5,333 + 8,000 + 2,1 = 5,656 $$ **Réponse finale :** $$ f'(t) = 0,009 t^2 - 0,24 t + 1,2$$ La fonction $$f$$ est croissante sur $$[0,6,67]$$, décroissante sur $$[6,67,20]$$. Le nombre maximal de pucerons est environ $$5,66$$ milliers au bout de $$6,67$$ jours.