1. **Énoncé du problème :** Étudier la dérivabilité à gauche de la fonction $f(x) = \sqrt{1 + \cos(\pi x)}$ en $x=1$. 2. **Formule et règles importantes :** - La dérivabilité à gauche en $x=1$ signifie que la limite du taux d'accroissement à gauche existe et est finie. - La dérivée de $f$ est donnée par la règle de dérivation en chaîne : $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + \cos(\pi x)}} \times (-\pi \sin(\pi x)) = -\frac{\pi \sin(\pi x)}{2 \sqrt{1 + \cos(\pi x)}}$$ 3. **Calcul de la dérivée à gauche en 1 :** - Calculons la limite de $\frac{f(1) - f(1 - h)}{h}$ quand $h \to 0^+$. - On a $f(1) = \sqrt{1 + \cos(\pi \times 1)} = \sqrt{1 + \cos(\pi)} = \sqrt{1 - 1} = 0$. - Pour $h > 0$ petit, $f(1 - h) = \sqrt{1 + \cos(\pi (1 - h))} = \sqrt{1 + \cos(\pi - \pi h)}$. - Or, $\cos(\pi - \pi h) = -\cos(\pi h)$, donc $$f(1 - h) = \sqrt{1 - \cos(\pi h)}$$ 4. **Développement de $1 - \cos(\pi h)$ pour $h \to 0$ :** - Utilisons l'approximation $\cos t \approx 1 - \frac{t^2}{2}$ pour $t$ proche de 0. - Donc, $$1 - \cos(\pi h) \approx 1 - \left(1 - \frac{(\pi h)^2}{2}\right) = \frac{\pi^2 h^2}{2}$$ - Ainsi, $$f(1 - h) \approx \sqrt{\frac{\pi^2 h^2}{2}} = \frac{\pi h}{\sqrt{2}}$$ 5. **Calcul de la limite du taux d'accroissement :** $$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1) - f(1 - h)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{0 - \frac{\pi h}{\sqrt{2}}}{h} = \lim_{h \to 0^+} -\frac{\pi}{\sqrt{2}} = -\frac{\pi}{\sqrt{2}}$$ 6. **Conclusion :** - La dérivée à gauche de $f$ en 1 existe et vaut $$f'_-(1) = -\frac{\pi}{\sqrt{2}}$$ **Réponse finale :** La fonction $f$ est dérivable à gauche en 1 et $$f'_-(1) = -\frac{\pi}{\sqrt{2}}$$