1. Énonçons le problème : Trouver la dérivée d'une fonction en utilisant uniquement les limites usuelles, sans utiliser la notion d'accroissement fini. 2. Rappel de la définition de la dérivée par limite usuelle : La dérivée de $f$ en un point $a$ est donnée par $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Cette limite, si elle existe, donne la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point $a$. 3. Important : - On ne fait pas appel à l'accroissement fini ni à la notion de taux d'accroissement moyen. - On utilise uniquement la limite du taux d'accroissement instantané. 4. Exemple : Calculons la dérivée de $f(x) = x^2$ en un point $a$. 5. Calcul intermédiaire : $$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$$ 6. Passage à la limite : $$f'(a) = \lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a$$ 7. Conclusion : La dérivée de $f(x) = x^2$ en $a$ est $f'(a) = 2a$. Cette méthode s'applique à toute fonction dérivable en utilisant la limite du taux d'accroissement instantané.