1. Énoncé : Trouver la dérivée de la fonction $f(x)=-4x-1$ en $x=-2$ en utilisant la définition du nombre dérivé. 2. Rappel de la définition du nombre dérivé : $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ 3. Calcul de $f'(-2)$ : $$f'(-2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-4(-2+h)-1 - (-4(-2)-1)}{h}$$ 4. Simplifions l'expression : $$= \lim_{h \to 0} \frac{-4(-2+h)-1 + 8 + 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{8 -4h -1 + 8 + 1}{h}$$ 5. Regroupons les termes constants : $$= \lim_{h \to 0} \frac{(8 -1 + 8 + 1) - 4h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{16 - 4h}{h}$$ 6. Séparons la fraction : $$= \lim_{h \to 0} \left( \frac{16}{h} - 4 \right)$$ 7. Ici, il y a une erreur dans la simplification précédente, reprenons à l'étape 3 correctement : $$f(-2+h) = -4(-2+h) -1 = 8 -4h -1 = 7 -4h$$ $$f(-2) = -4(-2) -1 = 8 -1 = 7$$ Donc : $$f'(-2) = \lim_{h \to 0} \frac{(7 -4h) - 7}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-4h}{h}$$ 8. Simplifions en annulant $h$ : $$= \lim_{h \to 0} -4 \cancel{\frac{h}{h}} = -4$$ 9. Conclusion : La dérivée de $f$ en $x=-2$ est $f'(-2) = -4$.