1. **Énoncé du problème** : On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = -2x^2 + 4x + 2$. Nous devons : - Déterminer la fonction dérivée $g'$. - Étudier le signe de $g'(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$. - Trouver s'il existe un extremum et sa valeur. - Calculer $g(2)$ et $g'(2)$, puis trouver l'équation de la tangente en $x=2$. - Trouver les tangentes parallèles à l'axe des abscisses. 2. **Calcul de la dérivée $g'(x)$** : La dérivée d'une fonction polynomiale $ax^n$ est $anx^{n-1}$. $$g(x) = -2x^2 + 4x + 2$$ Donc : $$g'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^2) + \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(2) = -4x + 4 + 0 = -4x + 4$$ 3. **Étude du signe de $g'(x)$** : On cherche les valeurs de $x$ telles que $g'(x) = 0$ : $$-4x + 4 = 0$$ $$-4x = -4$$ $$\cancel{-4}x = \cancel{-4}$$ $$x = 1$$ Pour $x < 1$, prenons $x=0$ : $g'(0) = -4(0) + 4 = 4 > 0$ donc $g'$ est positif à gauche de 1. Pour $x > 1$, prenons $x=2$ : $g'(2) = -4(2) + 4 = -8 + 4 = -4 < 0$ donc $g'$ est négatif à droite de 1. 4. **Tableau de variations de $g$** : - $g$ est croissante sur $(-\infty, 1)$ car $g'(x) > 0$. - $g$ est décroissante sur $(1, +\infty)$ car $g'(x) < 0$. 5. **Existence d'un extremum** : Puisque $g'$ change de signe de positif à négatif en $x=1$, $g$ admet un maximum en $x=1$. Calculons $g(1)$ : $$g(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 2 = -2 + 4 + 2 = 4$$ Donc, le maximum est $4$ atteint en $x=1$. 6. **Calcul de $g(2)$ et $g'(2)$** : $$g(2) = -2(2)^2 + 4(2) + 2 = -2(4) + 8 + 2 = -8 + 8 + 2 = 2$$ $$g'(2) = -4(2) + 4 = -8 + 4 = -4$$ 7. **Équation de la tangente en $x=2$** : La tangente en $x=a$ a pour équation : $$y = g'(a)(x - a) + g(a)$$ Ici $a=2$, donc : $$y = -4(x - 2) + 2 = -4x + 8 + 2 = -4x + 10$$ 8. **Tangentes parallèles à l'axe des abscisses** : Une tangente parallèle à l'axe des abscisses a une pente nulle, donc on cherche $x$ tel que $g'(x) = 0$. On a déjà trouvé $g'(x) = 0$ en $x=1$. Donc, la courbe admet une tangente horizontale en $x=1$. **Résumé final** : - $g'(x) = -4x + 4$ - $g$ est croissante sur $(-\infty, 1)$ et décroissante sur $(1, +\infty)$ - $g$ admet un maximum $4$ en $x=1$ - $g(2) = 2$, $g'(2) = -4$ - Équation de la tangente en $x=2$ : $y = -4x + 10$ - Tangente horizontale en $x=1$