1. **Énoncé du problème :** Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = e^{-kx}$ puis calculer la somme $\sum_{k=0}^n e^{-kx}$.\n\n2. **Formule et règles importantes :**\n- La dérivée de $e^{u(x)}$ est $e^{u(x)} \cdot u'(x)$.\n- La somme d'une suite géométrique finie $\sum_{k=0}^n r^k = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$ si $r \neq 1$.\n\n3. **Calcul de la dérivée :**\n- Ici, $u(x) = -kx$, donc $u'(x) = -k$.\n- Donc $f'(x) = \frac{d}{dx} e^{-kx} = e^{-kx} \cdot (-k) = -k e^{-kx}$.\n\n4. **Calcul de la somme $\sum_{k=0}^n e^{-kx}$ :**\n- Posons $r = e^{-x}$.\n- La somme devient $\sum_{k=0}^n r^k$.\n- Par la formule de la somme géométrique, on a $$\sum_{k=0}^n e^{-kx} = \frac{1 - (e^{-x})^{n+1}}{1 - e^{-x}} = \frac{1 - e^{-(n+1)x}}{1 - e^{-x}}.$$\n\n5. **Interprétation :**\n- La dérivée montre que la fonction décroît exponentiellement avec un facteur $k$.\n- La somme est une expression fermée qui facilite le calcul pour tout $n$.\n\n**Réponse finale :**\n$$f'(x) = -k e^{-kx}$$\n$$\sum_{k=0}^n e^{-kx} = \frac{1 - e^{-(n+1)x}}{1 - e^{-x}}.$$