1. Énoncé du problème : Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = e^{-kx}$ puis calculer la somme $\sum_{k=0}^n e^{-kx}$. 2. Dérivée de $f(x) = e^{-kx}$ : La dérivée d'une fonction exponentielle $e^{u(x)}$ est donnée par la règle de dérivation : $$\frac{d}{dx} e^{u(x)} = u'(x) e^{u(x)}$$ Ici, $u(x) = -kx$, donc $u'(x) = -k$. Donc, $$f'(x) = -k e^{-kx}$$ 3. Calcul de la somme $S_n = \sum_{k=0}^n e^{-kx}$ : C'est une somme géométrique de raison $r = e^{-x}$ et de premier terme $a = e^{0} = 1$. La formule de la somme d'une suite géométrique est : $$S_n = a \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$$ Donc, $$S_n = \frac{1 - (e^{-x})^{n+1}}{1 - e^{-x}} = \frac{1 - e^{-(n+1)x}}{1 - e^{-x}}$$ 4. Résumé : - La dérivée de $f(x) = e^{-kx}$ est $$f'(x) = -k e^{-kx}$$ - La somme partielle de la série est $$\sum_{k=0}^n e^{-kx} = \frac{1 - e^{-(n+1)x}}{1 - e^{-x}}$$ Ceci conclut la résolution de la première question.